LA teorija (objasnjenje gradiva)

[alen]

Evo, mislio sam, mogli bismo malo na forumu jedni drugima pomoci oko teorije iz linearne, pa evo jos jedna tema, nadam se da onda poslije necu otvarati nove (ovo je 3.)

pa eto...

[alen]

Pa evo, odmah, posto smo imali sami pokazati da je skup operatora zadanih sa A_(i,j)(v_k)=krönecker_(j,k)*w_i baza za Lin(V->W). Trebamo pokazati da:

1) razapinju Lin(V->W) (skup izvodnica) (uzmemo proizvoljni operator A i promatramo njegovo djelovanje na bazu za V)

A(v_j)=(1/m)*A(sum_i=1..n(sum_j=1..m(krönecker_(j,k)*v_j))=(sljedeci korak mozemo zbog linearnosti A)
=(1/m)*(sum_i=1..n(sum_j=1..m(krönecker_(j,k)*A(v_j)))=(sada je po definiciji) =(1/m)*(sum_i=1..n(sum_j=1..m(krönecker_(j,k)*lambda_(i,k)*w_i)))= =(1/m)*(sum_i=1..n(sum_j=1..m(lambda_(i,k)*A_(i,k)(v_ j))))=
=sum_i=1..n(sum_j=1..m((lambda_(i,k)/m)*A_(i,k)(v_ j)))
pa vidimo da ovih m*n operatora razapinje prostor svih operatora
(jer smo proizvoljni operator A prikazali kao linearnu kombinaciju operatora A_(i,k) i iz{1..n} i k iz {1..m})

2) su linearno neovisni (dovoljno je promatrati djelovanje na bazu za V)

(ovo je nul-vektor) 0=
=sum_i=1..n(sum_j=1..m(lambda_(i,k)*A_(i,k)*v_ j ))=
=sum_i=1..n(sum_j=1..m(lambda_(i,k)*krönecker_(j,k)*w_i ))=
=sum_i=1..n(krönecker_(j,k)*sum_j=1..m(lambda_(i,k)*w_i ))=
=sum_i=1..n(lambda_(i,j)*w_i), a kako w_i tvore bazu nuzno su svi lambda_(i,j) jednaki nula. kako promatramo djelovanje tih operatora na cijelu bazu za V, zaključujemo da to mora vrijediti za svaki i iz{1..n} i za svaki j iz {1..m}. znaci, svih m*n skalara moraju nuzno biti jednaki nula.

eto, sad vidimo (bar se nadam, ovo je bilo cisto namjestanje, ali jedno vrlo ruzno) da je tako zadan skup operatora stvarno baza za Lin(V->W). ali, ni to nije sve, jer vidimo da elemenata u toj bazi ima m*n, pa jos cak mozemo zakljuciti i da je dim(Lin(V->W))=m*n.

jeeeeeeeeeeeeeee

[andreao]

[alen]

Ja bih to nekako ovako dokazao (isto kao profesor, pogledamo da se podudaraju na svim clanovima domene fukcije J(x), x iz V, J(x) iz V'', domena od J(x) je V'): a iz F, x_1 i x_2 iz V, f iz V' proizvoljni. Imamo:

(J(a*x_1+x_2))(f)=(kapica(a*x_1+x_2))(f)=<a*x_1+x_2,f>=
=a*<x_1,f>+<x_2,f>=a*(kapica(x_1))(f)+(kapica(x_2))(f)=
=a*(J(x_1))(f)+(J(x_2))(f).

Kako to vrijedi za svaki f iz V', pisemo:
J(a*x_1+x_2)=a*J(x_1)+J(x_2).

[alen]

Jel mozda neko zna jos koji primjer primjene teorema 28 uz objasnjenje? Razumijem postupak (invertiraj, transponiraj matricu prijelaza i dobit ces koeficijente za dualnu bazu, ali mi bas nije do kraja jasno zasto je to tako)

[alen]

Vidim da jedini ja ovdje nesto drobim bezveze

steta, mislio sam da ce se bar netko ukljucit jer teorija nije bas lagana, ali izgleda da sam jedini koji misli tako

[nana]

[alen]

Hvala, Nano, bar jedan post osim Andreaoinog.

Da, moze bit da je u tome problem, hvala. Ja ne mogu rjesavat zadatke a da ne znam teoriju, jos ce vjerojatno biti i jedan teorijski zadatak pa sam zato ocekivao da su ljudi poceli ucit teoriju.

Eto onda, izgleda da je ovo preuranjeno. Sjetite se na kraju godine ovih postova (ima stvari koje vam trebaju pisati u blijeznici, a vjerojatno ne pisu pa mozete pogledat ovdje i nadopunit).

Da bar Antonic da 5 teorijskih zadataka... (sala)

[Gost]

"Jel mozda neko zna jos koji primjer primjene teorema 28 uz objasnjenje? Razumijem postupak (invertiraj, transponiraj matricu prijelaza i dobit ces koeficijente za dualnu bazu, ali mi bas nije do kraja jasno zasto je to tako)"

Ne znam koji je točno "vaš" teorem 28, ali ovo s dualnom bazom išlo bi ovako:
Recimo da vektore jedna baze napišemo u retke matrice A. Uvjet dualnosti zapravo se može pročitati kao uvjet ortogonalnosti vektora baze i dualne baze, a A A^(-1) = I upravo je taj uvjet ortogonalnosti. Treba inverznu transponirati zato da bi i vektori dualne baze bili u retcima (ovako je ortogonalnost redaka A i stupaca inverzne matrice A^(-1)).

[alen]

Sad mi je puno jasnije, hvala na odgovoru.

[alen]

eto, sad je već lijepo vrijeme za učenje teorije iz linearne...

da li je netko možda našao link na onaj dokaz za jordanovu formu?

_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine

[nenad]

[Gost]

Nisam bas shvatio teorem 27.({v1,...vn} baza za V i Vi':V->F lin.funkcionali zadani s V'i(vj):=kron.simbol i,j tada je {v'1,....v'n} baza za V')...pa kad bi netko malo pojasnio kako se tocno dokazuje...?

[ignis]

hm..kolko je zgodno vidjet sve lijepo napisano u pdf formatu,podsjeca me na ucenje LA1.. , a sad dok se krene ucit najcesce se teoremi pocnu pretvart u cigle i desi se ovo

[alen]

[Gost]

Može li mi netko pomoć?
Ako je matrica hermitskog operatora dijagonalna u nekoj bazi, je li onda ta baza ortogonalna? Jer baš bi bilo dobro kad bi bila

[Ilja]

Na žalost neće ići. Npr. matrica identitete (jediničnog operatora) na nekom unitarnom prostoru () je dijagonalna u svakoj bazi, a nije baš da je svaka baza takvog prostora ortogonalna.

[Gost]

šteta, šteta...
zahvaljujem

[alen]

Evo, za lakše pripremanje za pismeni dio usmenog (a i za usmeni dio) kod profesora Antonića, ali mislim da bi dobro došao svim zaljubljenicima u linearnu algebru 2 i onima koji to namjeravaju postati. I mazohistima bi se moglo svidjeti.

Stotinjak pitanja, teoretskih, iz LA2, koja sam si smislio za ponavljanje gradiva. Možete probati odgovoriti na njih po intuiciji, a ako želite stvarno biti sigurni, dokažite sve (ponedjeljak poslije c-a cijeli i neprospavana noć prije utorka u podne).

Mislim da nisu baš prelagana, a ni preteška, treba malo razmisliti i povezivati gradivo, baš kako profesor Antonić zadaje na pismenom djelu. Čini mi se da sam obuhvatio sve najbitnije, pa ako uspijete dokazati svoje odgovore na ova pitanja, mislim da sigurno nećete pasti.

Uživajte

E, da, ako neke simbole nemožete pročitat u wordu, skinite si besplatnu verziju math type-a (mislim da je 5.0 verzija).

_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine

[andreao]

E ovo je stvarno korisno, thanks. Stvarno si si dao truda. Može se pročitati u Wordu, bez problema. Ak može sugestija. Mogao si napisati i kod nekih pitanja i objašnjenja zašto je tako. I slično.

_________________