Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Joker Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16) Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Joker Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 09. 2010. (10:19:16) Postovi: (8C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
pmli Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 11. 2009. (12:03:05) Postovi: (2C8)16
Spol:
|
Postano: 15:59 sri, 2. 3. 2011 Naslov: |
|
|
[quote="Joker"]mogu li onda za taj pvi zadatak pretpostaviti da je taj skup linearno nezavisan?[/quote]
Ne možeš, bez neke dodatne argumentacije. Poanta je da, ako je skup [latex]S := \{ v_1, \ldots, v_m \}[/latex] linearno zavisan, može se reducirati do linearno nezavisanog skupa (osim ako samo sadržava nulvektor) - označimo ga s [latex]S'[/latex]. Znaš da se preostali vektori iz [latex]S[/latex] mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora iz [latex]S'[/latex]. Sad ti je [latex]A(S')[/latex] također linearno nezavisan, a preostali vektori iz [latex]A(S \setminus S')[/latex] se mogu (zbog linearnosti od A) prikazati kao linearne kombinacije vektora iz [latex]A(S')[/latex].
Probaj sad to precizno raspisati ovisno o [latex]k := \dim \{ v_1, \ldots, v_m \} \in \{ 0 , 1, \ldots, m \}[/latex]. Imaš 3 slučaja: [latex]k = 0[/latex], [latex]k = m[/latex] i [latex]1 \leq k \leq m - 1[/latex]. U zadnjem možeš BSO pretpostaviti da je [latex]\{ v_1, \ldots, v_k \}[/latex] linearno nezavisan.
Joker (napisa): | mogu li onda za taj pvi zadatak pretpostaviti da je taj skup linearno nezavisan? |
Ne možeš, bez neke dodatne argumentacije. Poanta je da, ako je skup linearno zavisan, može se reducirati do linearno nezavisanog skupa (osim ako samo sadržava nulvektor) - označimo ga s . Znaš da se preostali vektori iz mogu prikazati kao linearne kombinacije vektora iz . Sad ti je također linearno nezavisan, a preostali vektori iz se mogu (zbog linearnosti od A) prikazati kao linearne kombinacije vektora iz .
Probaj sad to precizno raspisati ovisno o . Imaš 3 slučaja: , i . U zadnjem možeš BSO pretpostaviti da je linearno nezavisan.
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
|
[Vrh] |
|
rimidalv1991 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 07. 2009. (21:14:20) Postovi: (22)16
|
|
[Vrh] |
|
ceps Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 10. 2010. (13:03:07) Postovi: (13A)16
|
Postano: 20:59 čet, 9. 6. 2011 Naslov: |
|
|
Vjerojatno ti nije jasan ovaj dio uvođenja operatora [latex]L_A[/latex], zato si pogledaj gdje se on prije javlja i gdje je bolje objašnjeno o čemu je točno riječ (prvi put kod matričnog zapisa operatora, drugi put kod spektra - napomena 1.4.23 i tekst poslije definicije invarijantnosti).
Poanta je u tome da znamo da svaki polinom ima bar jednu nultočku kad je ''nad'' kompleksnim brojevima - a lema prije govori da su svojstvene vrijednosti hermitskih operatora realne.
Neformalno ispričan, ovaj dokaz ide ovako: ''bacimo'' naš operator pomoću[latex]L_A[/latex] u kompleksne brojeve, gdje znamo da on ima bar jednu svojstvenu vrijednost i da je ona realna.
Iz toga slijedi da operator ima svojstvenu vrijednost i u [latex]R[/latex] (tj. formalno, zbog toga jer su matrice [latex][L_{A^b_b}]^e_e[/latex] i [latex][A]^b_b[/latex] jednake, pa time i svojstveni polinomi ta dva operatora ).
Vjerojatno ti nije jasan ovaj dio uvođenja operatora , zato si pogledaj gdje se on prije javlja i gdje je bolje objašnjeno o čemu je točno riječ (prvi put kod matričnog zapisa operatora, drugi put kod spektra - napomena 1.4.23 i tekst poslije definicije invarijantnosti).
Poanta je u tome da znamo da svaki polinom ima bar jednu nultočku kad je ''nad'' kompleksnim brojevima - a lema prije govori da su svojstvene vrijednosti hermitskih operatora realne.
Neformalno ispričan, ovaj dokaz ide ovako: ''bacimo'' naš operator pomoću u kompleksne brojeve, gdje znamo da on ima bar jednu svojstvenu vrijednost i da je ona realna.
Iz toga slijedi da operator ima svojstvenu vrijednost i u (tj. formalno, zbog toga jer su matrice i jednake, pa time i svojstveni polinomi ta dva operatora ).
|
|
[Vrh] |
|
rimidalv1991 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 07. 2009. (21:14:20) Postovi: (22)16
|
|
[Vrh] |
|
BlameGame Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 09. 2011. (19:17:53) Postovi: (6C)16
|
|
[Vrh] |
|
gflegar Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 10. 2011. (15:03:41) Postovi: (10D)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 6:44 čet, 9. 2. 2012 Naslov: |
|
|
[color=blue][u][b]Propozicija 2.3.13.[/b][/u][/color]
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je [dtex]L+M=\{x+y: \ x\in L, \ y\in M\}.[/dtex]
Nakon propozicije slijedi i njen dokaz.
Meni nije jasno što se tu točno želi pokazati/dokazati. Mislim, L i M su potprostori, tj. skupovi s određenim svojstvima nad nekim poljem. Bitno mi je sad da su skupovi. To što mi dokazujemo meni izgleda kao najjobičnija definicija zbroja dvaju skupova s elementarne matematike. Ako sam u krivu, ispravite me, ako nisam, molim odgovor na pitanje:
Što mi tu točno pokazujemo/dokazujemo?
Unaprijed hvala :D
Propozicija 2.3.13.
Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je [dtex]L+M=\{x+y: \ x\in L, \ y\in M\}.[/dtex]
Nakon propozicije slijedi i njen dokaz.
Meni nije jasno što se tu točno želi pokazati/dokazati. Mislim, L i M su potprostori, tj. skupovi s određenim svojstvima nad nekim poljem. Bitno mi je sad da su skupovi. To što mi dokazujemo meni izgleda kao najjobičnija definicija zbroja dvaju skupova s elementarne matematike. Ako sam u krivu, ispravite me, ako nisam, molim odgovor na pitanje:
Što mi tu točno pokazujemo/dokazujemo?
Unaprijed hvala
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
goranm Forumaš(ica)
Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12) Postovi: (906)16
Spol:
|
Postano: 7:42 čet, 9. 2. 2012 Naslov: |
|
|
Ako bi htjeli bit brutalno i nepotrebno pedantni, onda jednom nakon što smo definirali operaciju zbrajanja skupova kao A+B={a+b|a iz A, b iz B}, onda više ne smijemo koristiti + kao simbol za neku drugu operaciju (npr. zbrajanje potprostora) jer + je zapravo funkcija iz SxS u S, gdje je S familija svih skupova, dok zbrajanje potprostora je funkcija iz P(V)xP(V)->P(V), gdje je P(V) familija svih potprostora nekog vektorskog prostora V nad nekim poljem (ne bi čak niti + za zbrajanje skupova smjeli koristiti jer je + operacija zbrajanja elemenata iz nekog skupa).
Sad, zaboravi da smo ikako definirali L+M za potprostore i recimo da smo za "zbroj potprostora" umjesto "+" koristili drugi simbol, npr "&", a sve ostalo da smo identično napravili, tj. definirali L&M=[tex][L\cup M][/tex] i dokazali propoziciju da je L&M={x+y|x u L, y u M}.
Ovo desno je L+M kada na L i M gledamo kao skupove. Znači imamo ovo: ako su L i M vekt. potprostori nekog v.p. V, onda vrijedi L&M=L+M. Zato što imamo podudaranje L&M=L+M kada pričamo o vektorskim potprostorima, onda odlučimo napraviti si život lakšim i ne komplicirati notaciju i terminologiju i jednostavno kažemo da je zbog te propozicije opravdano uzeti "&"="+" i opravdano je pričati o "zbroju" potprostora.
_____
[size=9]Side note: konvencija je obično sljedeća: ako definiramo neku binarnu operaciju na nekoj strukturi G (struktura je skup koji posjeduje neka specifična svojstva, npr. vektorski prostor je struktura, grupa je struktura itd.), onda ako je operacija komutativna, koristimo simbol "+" i zovemo ju "zbrajanje", a za elemente kažemo da ih zbrajamo. Ako nije komutativna, koristimo simbol "*" i zovemo ju "množenje", a za elemente kažemo da ih množimo (kada se o grupama radi, obično se niti * ne piše, npr. umjesto a*b piše se samo ab). Postoje situacije i kada je operacija * komutativna, ali onda se to posebno i naglasi.[/size]
Ako bi htjeli bit brutalno i nepotrebno pedantni, onda jednom nakon što smo definirali operaciju zbrajanja skupova kao A+B={a+b|a iz A, b iz B}, onda više ne smijemo koristiti + kao simbol za neku drugu operaciju (npr. zbrajanje potprostora) jer + je zapravo funkcija iz SxS u S, gdje je S familija svih skupova, dok zbrajanje potprostora je funkcija iz P(V)xP(V)→P(V), gdje je P(V) familija svih potprostora nekog vektorskog prostora V nad nekim poljem (ne bi čak niti + za zbrajanje skupova smjeli koristiti jer je + operacija zbrajanja elemenata iz nekog skupa).
Sad, zaboravi da smo ikako definirali L+M za potprostore i recimo da smo za "zbroj potprostora" umjesto "+" koristili drugi simbol, npr "&", a sve ostalo da smo identično napravili, tj. definirali L&M=[tex][L\cup M][/tex] i dokazali propoziciju da je L&M={x+y|x u L, y u M}.
Ovo desno je L+M kada na L i M gledamo kao skupove. Znači imamo ovo: ako su L i M vekt. potprostori nekog v.p. V, onda vrijedi L&M=L+M. Zato što imamo podudaranje L&M=L+M kada pričamo o vektorskim potprostorima, onda odlučimo napraviti si život lakšim i ne komplicirati notaciju i terminologiju i jednostavno kažemo da je zbog te propozicije opravdano uzeti "&"="+" i opravdano je pričati o "zbroju" potprostora.
_____
Side note: konvencija je obično sljedeća: ako definiramo neku binarnu operaciju na nekoj strukturi G (struktura je skup koji posjeduje neka specifična svojstva, npr. vektorski prostor je struktura, grupa je struktura itd.), onda ako je operacija komutativna, koristimo simbol "+" i zovemo ju "zbrajanje", a za elemente kažemo da ih zbrajamo. Ako nije komutativna, koristimo simbol "*" i zovemo ju "množenje", a za elemente kažemo da ih množimo (kada se o grupama radi, obično se niti * ne piše, npr. umjesto a*b piše se samo ab). Postoje situacije i kada je operacija * komutativna, ali onda se to posebno i naglasi.
_________________ The Dude Abides
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
matijaB Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43) Postovi: (4D)16
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
Postano: 20:38 uto, 5. 6. 2012 Naslov: |
|
|
Za matrice [tex]A,I\in M_n[/tex], gdje je [tex]I[/tex] jedinična matrica, očito vrijedi [tex]AI=IA[/tex]. I sad ako tu dodaš taj skalar lambda, to je to. Znamo da kod množenja matrica vrijedi kvaziasocijativnost, tj. [tex](\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)[/tex]
Za matrice [tex]A,I\in M_n[/tex], gdje je [tex]I[/tex] jedinična matrica, očito vrijedi [tex]AI=IA[/tex]. I sad ako tu dodaš taj skalar lambda, to je to. Znamo da kod množenja matrica vrijedi kvaziasocijativnost, tj. [tex](\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
Zenon Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43) Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]
|
|
[Vrh] |
|
matijaB Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43) Postovi: (4D)16
|
|
[Vrh] |
|
angelika Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51) Postovi: (5F)16
|
|
[Vrh] |
|
|