Dualna baza (objasnjenje gradiva)

[D4rk0]

Može li mi netko objasniti što je točno dualna baza i kako se nalazi? Zahvaljujem se

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...

[D4rk0]

kad smo već kod toga molio bi nekoga da mi samo napiše riješenje 4. zadatka od roka 7.2.2005. Hvala

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...

[nenad]

Neka je V zadani v.pr. s (uređenom) bazom , a V' njegov dualni prostor (v.pr. svih linearnih funkcionala na V; to je prostor iste dimenzije kao i V).

Linearni operator je zadan svojim djelovanjem na bazu; pa to vrijedi i za linearni funkcional.
Definiramo linearne funkcionale na sljedeći način:
.
Ti funkcionali čine dualnu bazu (za V') polaznoj bazi (za V).

- Nenad Antonić

P.S. Ja sam napisao ovo; sada je red da D4rk0 pokuša riješiti spomenuti zadatak, i napiše gdje je točno zapeo, zar ne?

[D4rk0]

Ja sam ga i riješio, ali nemam pojma dal sam ga dobro riješio Kad nema numeričkih riješenja na netu...

Zadatak glasi naći dualnu bazu baze {(1,-1,3),(0,1,-1),(0,3,-2)} na R^3.

Jesam li uopće dobro krenuo ako sam računao da su vektori dualne baze linearna kombinacija vektora e1, e2, e3 tako da se dobije u principu kanonska baza... Sad sam već i sam sebe zbunio lol... Idem još malo proučiti ovo...

znači f1 je meni jednako e1+7e2-2e3... dalje ide analogno pa ako je to dobro dobro je i ostalo (malo vjerojatno da je dobro, ali vrijedilo je pokušati )

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...

[nenad]

[D4rk0]

puno hvala... ako se ne varam riješenje bi bilo:
{(1,0,0),(7,-2,-3),(-2,1,1)}


ispričavam se zbog slabog znanja Davno sam to slušao pa mi se polako vraćaju stvari...

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...

[nenad]

[D4rk0]

[alen]

Evo ovako,tebe zanima sto je dualna baza za {(1,-1,3),(0,1,-1),(0,3,-2)}.
Pa, mora ti vrijediti:

f_1(1,-1,3)=1;f_2(1,-1,3)=0;f_3(1,-1,3)=0;
f_1(0,1,-1)=0;f_2(0,1,-1)=1;f_3(0,1,-1)=0;
f_1(0,3,-2)=0;f_2(0,3,-2)=0;f_3(0,3,-2)=1;

Ali, ti zelis znati sto ti je f_1(x,y,z), f_2(x,y,z), f_3(x,y,z). Pa postupak je da nades sto ti je

f_1(1,0,0);f_2(1,0,0);f_3(1,0,0);
f_1(0,1,0);f_2(0,1,0);f_3(0,1,0);
f_1(0,0,1);f_2(0,0,1);f_3(0,0,1);

jer prvi redak pomnozis s x, drugi s y i treci sa z, onda zbrojis sve iz prvog stupca, sve iz drugog stupca i sve iz treceg stupca, i imas kako ti djeluje dualna baza. Idemo onda to i napraviti.

Primjetimo da su f_i linearni funkcionali, pa je, npr., f_1(1,-1,3)+f_1(0,1,-1)=f_1(1,0,2)=1+0=1 pa ako napises

1 -1 3 1
0 1 -1 0
0 3 -2 0

i to shvatis kao matricu na kojoj mozes raditi recane transformacije, to je ekvivelentno kao da manipuliras sa argumentima linearnih funkcionala. Medutim, na kolokviju ti treba i brzina, pa neces rijesavati samo jedan sustav od jednom (ovaj napisani je za f_1) nego sva 3 odjednom pa napises sljedecu matricu

1 -1 3 1 0 0
0 1 -1 0 1 0
0 3 -2 0 0 1

(u prvom stupcu su rijesenja za f_1, u drugom za f_2...)
i sada pokusavas na lijevoj strani dobiti jedinicnu matricu (uocimo da zapravo trazimo inverz transponirane matrice prijelaza iz {(1,-1,3),(0,1,-1),(0,3,-2)} u standardnu bazu (tm 28 )).

Rijesenje je

1 0 0 1 7 -2
0 1 0 0 -2 1
0 0 1 0 -3 1

Kako to procitati?

f_1(1,0,0)=1;f_2(1,0,0)=7;f_3(1,0,0)=-2;
f_1(0,1,0)=0;f_2(0,1,0)=-2;f_3(0,1,0)=1;
f_1(0,0,1)=0;f_2(0,0,1)=-3;f_3(0,0,1)=1;

I sada je konacno
x*f_1(1,0,0)=f_1(x,0,0)=x
y*f_1(0,1,0)=f_1(0,y,0)=0
z*f_1(0,0,1)=f_1(0,0,z)=0

Sve zbrojis i dobijes f_1(x,y,z)=x. Analogno je i za f_2 i f_3

f_2(x,y,z)=7x-2y-3z, f_3(x,y,z)=-2x+y+z

pa je f_1=e1, f_2=7e1-2e2-3e3, f_3=-2e1+e2+e3.

Znaci, zapis dualne baze u kanonskoj dualnoj bazi je

{(1,0,0),(7,-2,-3),(-2,1,1)}

Valjda je jasno sto sam htio reci

Oho, vidim da se tu jos svasta napisalo dok sam je pisao odgovor. Izgleda da nije dobro poceti pisati post, otici, vratiti se i nastaviti pisati... A eto, svejedno ce valjda ovo nekome koristiti

[D4rk0]

Baš sam jučer navečer gledajući definiciju dualne baze shvatio da je to zapravo inverz matrice u kojoj su vektori baze postavljeni u stupce. Nije li rješavanje uz neki algoritam najpametnije kod ovakvih zadataka pošto uz računalo inver nađete jednom naredbom u Matlabu ili Wolframovoj matematici?

Ili sam ja nešto krivo rekao?

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...

[nenad]

To je posljedica Teorema 28 s predavanja. I zadatak se može tako riješiti.

Međutim, ja mislim da nema previše smisla učiti napamet recepte, bez da se razumiju.
Zato, tek kad se razumiju definicije za dualnu bazu, ima smisla razmišljati o standardiziranom računu.
Jer, ako se zadatak malo varira, kako malo varirati taj postupak?

- Nenad Antonić

[D4rk0]

Naravno da se neće učiti zadatci napamet, ali dobro je primjetiti da se može tako riješiti jer jednog dana kad bi ovo išao primjenjivati u nekom programu ili nečem sličnom bi mi ova spoznaja pomogla pa sam se samo pitao jesam li u pravu

Progovara FERovac u meni

_________________
www.spreha.net
Ljudski je griješiti, ali osjećaj je božanski...