|
[quote="Wuvie"]Znam da gnjavim, ali nešto me uvijek zanimalo. Zašto recimo kad definiramo funkciju f sa skupa X na skup Y kažemo da je to uređena trojka (X,Y,f)? Ili kad definiramo grupu kažemo uređeni par (G,+). Jel to isti uređeni par kao (a,b)? Jel se to isto može zapisati kao skup
{{a},{a,b}}? Mislim jel taj zapis nečem služi ili je to samo kao oznaka? :?[/quote]
Teoretski gledano služi. :D Davno sam polagao teoriju skupova pa se nadam da neću nešto krivo reći (u slučaju da tako bude, neka me netko ispravi):
Jedna od standardnih teorija skupova je tzv. Zermelo-Frankelova teorija (ili kraće ZF-teorija). To je jedna teorija prvog reda (što god to sad značilo) i njen osnovni term je skup, te dva skupa su po definiciji jednaka akko imaju iste elemente (tzv. [i]aksiom ekstenzionalnosti[/i]).
Znači svaki objekt kojeg "izgradimo" u toj teoriji je skup, kao npr. funkcija, grupa, itd. Npr. [i]kartezijev produkt[/i] [latex]X \times Y[/latex] skupova [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex] definiramo kao skup svih terma "oblika" [latex](x,y):=\{\{x\}, \{x,y\}\}[/latex] pri čemu je [latex]x \in X, \ y \in Y[/latex]. To je dobro definiran pojam (tj. kartezijev produkt skupova je skup) i njegove elemente zovemo [i]uređeni parovi[/i]. Uređeni par smo definirali baš tako iz dva razloga:
1. da bude term te teorije (tj. skup)
2. vrijedi osnovno svojstvo koje bismo htjeli za uređene parove: lako se provjeri da su dva uređena para [latex](x,y)[/latex] i [latex](x',y')[/latex] jednaka (kao skupovi) akko im se "podudaraju koordinate", tj. ako je [latex]x=x'[/latex] i [latex]y=y'[/latex].
Analogno se definiraju uređene trojke, odnosno n-torke i za njih vrijedi isto svojstvo: dvije n-torke su jednake akko im se "podudaraju sve koordinate".
E sad, kada definiramo pojam funkcije u toj teoriji, ona mora biti skup i htjeli bismo da ima osnovno svojstvo: dvije funkcije su jednake akko su im domena, kodomena i "način djelovanja" jednaki. Tu sad možemo pristupiti na više (ekvivalentnih) načina: prvi je možda ovaj koji si ti napisao:[i] funkcija[/i] [latex]f: X \rightarrow Y[/latex] je uređena trojka [latex](X,Y,f)[/latex] (to je sad dobro definiran pojam, tj. skup) pri čemu su [latex]X[/latex] i [latex]Y[/latex] skupovi a [latex]f[/latex] je podskup kartezijevog produkta [latex]X \times Y[/latex] (relacija) sa svojstvom da je domena te relacije (skup svih [latex]x \in X[/latex] za koje postoji [latex]y \in Y[/latex] td. je [latex](x,y) \in f[/latex]) čitav [latex]X[/latex] i da je [latex]f[/latex] [i]funkcionalna[/i], tj. da za svako [latex]x \in X[/latex] postoji jedinstven [latex]y \in Y [/latex] td. je [latex](x,y) \in f[/latex].
Sad je taj izgrađeni objekt kojeg zovemo funkcija dobro definiran pojam (skup) i ima upravo ova svojstva koja želimo: dvije funkcije [latex]f: X \rightarrow Y[/latex] i [latex]g: Z \rightarrow W[/latex] su jednake (kao skupovi) ako su im sve komponente jednake, dakle [latex]X=Z[/latex] i [latex]Y=W[/latex] i "način djelovanja" im je isti (tj. funkcijske relacije im se podudaraju [latex]f=g[/latex]).
Postoji i kraći način definiranja funkcije, samo kao funkcionalne relacije [latex]f \subseteq X \times Y[/latex] čija je domena skup [latex]X[/latex], no ovim gornjim načinom se samo naglašava što znači jednakost dviju funkcija, kao jednakost uređenih trojki.
Analogno u slučaju grupa, nju definiramo kao uređeni par [latex](G, \cdot)[/latex], pri čemu je [latex]G[/latex] skup i [latex]\cdot : G \times G \rightarrow G[/latex] funkcija (binarna operacija) koja zadovoljava neke dodatne aksiome. To opet za jednostavnu posljedicu ima da su dvije grupe [latex](G, \cdot)[/latex] i [latex](H, \circ)[/latex] jednake ako im je ležeći skup isti, tj. [latex]G=H[/latex] i ako je [latex]\cdot=\circ[/latex] (tj. i ako su binarne operacije jednake-kao funkcije).
I zamisli sad da to nisi tako definirao, pa da ti onda (ko fol) ispadne da su dvije grupe jednake ako je prvi skup jednak drugoj binarnoj operaciji i obrnuto, ma tragedija buraz. :cry:
Nadam se da nisam previše zabrazdio i da sam pomogao. :? :D
[size=6]p.s. i nadam se da sam uspio bar malo ispast pametan, ili barem štreberčina. A e...[/size]
| Wuvie (napisa): | Znam da gnjavim, ali nešto me uvijek zanimalo. Zašto recimo kad definiramo funkciju f sa skupa X na skup Y kažemo da je to uređena trojka (X,Y,f)? Ili kad definiramo grupu kažemo uređeni par (G,+). Jel to isti uređeni par kao (a,b)? Jel se to isto može zapisati kao skup
{{a},{a,b}}? Mislim jel taj zapis nečem služi ili je to samo kao oznaka?  |
Teoretski gledano služi.  Davno sam polagao teoriju skupova pa se nadam da neću nešto krivo reći (u slučaju da tako bude, neka me netko ispravi):
Jedna od standardnih teorija skupova je tzv. Zermelo-Frankelova teorija (ili kraće ZF-teorija). To je jedna teorija prvog reda (što god to sad značilo) i njen osnovni term je skup, te dva skupa su po definiciji jednaka akko imaju iste elemente (tzv. aksiom ekstenzionalnosti).
Znači svaki objekt kojeg "izgradimo" u toj teoriji je skup, kao npr. funkcija, grupa, itd. Npr. kartezijev produkt  skupova  i  definiramo kao skup svih terma "oblika"  pri čemu je  . To je dobro definiran pojam (tj. kartezijev produkt skupova je skup) i njegove elemente zovemo uređeni parovi. Uređeni par smo definirali baš tako iz dva razloga:
1. da bude term te teorije (tj. skup)
2. vrijedi osnovno svojstvo koje bismo htjeli za uređene parove: lako se provjeri da su dva uređena para  i  jednaka (kao skupovi) akko im se "podudaraju koordinate", tj. ako je  i  .
Analogno se definiraju uređene trojke, odnosno n-torke i za njih vrijedi isto svojstvo: dvije n-torke su jednake akko im se "podudaraju sve koordinate".
E sad, kada definiramo pojam funkcije u toj teoriji, ona mora biti skup i htjeli bismo da ima osnovno svojstvo: dvije funkcije su jednake akko su im domena, kodomena i "način djelovanja" jednaki. Tu sad možemo pristupiti na više (ekvivalentnih) načina: prvi je možda ovaj koji si ti napisao: funkcija  je uređena trojka  (to je sad dobro definiran pojam, tj. skup) pri čemu su i skupovi a  je podskup kartezijevog produkta (relacija) sa svojstvom da je domena te relacije (skup svih  za koje postoji  td. je  ) čitav i da je funkcionalna, tj. da za svako postoji jedinstven  td. je .
Sad je taj izgrađeni objekt kojeg zovemo funkcija dobro definiran pojam (skup) i ima upravo ova svojstva koja želimo: dvije funkcije i  su jednake (kao skupovi) ako su im sve komponente jednake, dakle  i  i "način djelovanja" im je isti (tj. funkcijske relacije im se podudaraju  ).
Postoji i kraći način definiranja funkcije, samo kao funkcionalne relacije  čija je domena skup , no ovim gornjim načinom se samo naglašava što znači jednakost dviju funkcija, kao jednakost uređenih trojki.
Analogno u slučaju grupa, nju definiramo kao uređeni par  , pri čemu je  skup i  funkcija (binarna operacija) koja zadovoljava neke dodatne aksiome. To opet za jednostavnu posljedicu ima da su dvije grupe i  jednake ako im je ležeći skup isti, tj.  i ako je  (tj. i ako su binarne operacije jednake-kao funkcije).
I zamisli sad da to nisi tako definirao, pa da ti onda (ko fol) ispadne da su dvije grupe jednake ako je prvi skup jednak drugoj binarnoj operaciji i obrnuto, ma tragedija buraz. 
Nadam se da nisam previše zabrazdio i da sam pomogao.
p.s. i nadam se da sam uspio bar malo ispast pametan, ili barem štreberčina. A e...
|
