[quote]Kako u unit. pros. P4 (pol.s real.koef. manjeg od 4.stupnja),
ortonormirati stand.kan. bazu?
Skalarni produkt definiran je kao skal(p sa q)=integral od -1 do 1 p(t)q(t)dt... [/quote]
Standardna baza u prostoru polinoma stupnja najviše 3 je [latex]S=\{1,x,x^2,x^3\}[/latex].
Skalarni produkt je definiran s [latex]\left<p,q\right>:=\int_{-1}^1p(t)q(t)dt[/latex]. To stvarno jest skalarni produkt. (Provjeri!)
Ortonormiranje provodimo Gramm-Schmidtovim postupkom.
[quote]i potpitanje: kako se racuna norma kod polinoma, tj. njihovih vektora?! samo izračunati korijen iz zbroja kvadrata koef. ?! [/quote]
Prvo uoči jednu stvar: u vektorskom prostoru polinoma polinomi [i]jesu[/i] vektori. Nemaju oni "svoje" vektore. :) Ovo na što ti, nagađam, misliš kad kažeš njihovi vektori su bića iz drugog svijeta, tj. iz vektorskog prostora [latex]\mathbb{R}^4[/latex]. Postoji izomorfizam koji veže prvi i drugi svijet, ali to tu nema veze.
Norma u prostoru polinoma, jednom kad definiramo skalarni produkt, dobiva se ovako:
[latex]\left\|p\right\|:=\sqrt{\left<p,p\right>}=\sqrt{\int_{-1}^1p(t)^2dt}[/latex]
Lako se provjeri da je ovako stvarno definirana norma.
Sad kad imaš skalarni produkt i normu, lako možeš provesti Gramm-Schmidtov postupak ortonormiranja skupa S.
[latex]{\setlength{\arraycolsep}{1.5pt}
\begin{array}{rcl}
p_0 & := & 1 \\
q_0 & := & \displaystyle\frac{p_0}{\left\|p_0\right\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\
p_1 & := & \displaystyle x - \left<x,q_0\right>q_0 = x - \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{2}}xdx = x \\
q_1 & := & \displaystyle\frac{p_1}{\left\|p_1\right\|} = \sqrt{\frac{3}{2}}x \\
p_2 & := & x^2 - \left<x^2,q_1\right>q_1 - \left<x^2,q_0\right>q_0 = \\
& = & \displaystyle x^2-\frac{3}{2}x\int_{-1}^{1}\frac{3}{2}x^3dx-\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{2}}x^2dx = \\
& = & \displaystyle x^2-\frac{1}{3} \\
q_2 & := & \displaystyle\frac{p_2}{\left\|p_2\right\|} = \sqrt{\frac{45}{8}}\left(x^2-\frac{1}{3}\right) \\
p_3 & := & x^3 - \left<x^3,q_2\right>q_2 - \left<x^3,q_1\right>q_1 - \left<x^3,q_0\right>q_0 = \\
& = & \displaystyle\ldots = x^3 - \frac{3}{5}x \\
q_3 & := & \displaystyle\frac{p_3}{\left\|p_3\right\|} = \sqrt{\frac{175}{8}}\left(x^3-\frac{3}{5}x\right)
\end{array}}
[/latex]
Ako nisam pogriješio u računu, skup [latex]Q=\{q_0,q_1,q_2,q_3\}[/latex] je ortonormirana baza u prostoru polinoma najviše trećeg stupnja.
Citat: | Kako u unit. pros. P4 (pol.s real.koef. manjeg od 4.stupnja),
ortonormirati stand.kan. bazu?
Skalarni produkt definiran je kao skal(p sa q)=integral od -1 do 1 p(t)q(t)dt... |
Standardna baza u prostoru polinoma stupnja najviše 3 je .
Skalarni produkt je definiran s . To stvarno jest skalarni produkt. (Provjeri!)
Ortonormiranje provodimo Gramm-Schmidtovim postupkom.
Citat: | i potpitanje: kako se racuna norma kod polinoma, tj. njihovih vektora?! samo izračunati korijen iz zbroja kvadrata koef. ?! |
Prvo uoči jednu stvar: u vektorskom prostoru polinoma polinomi jesu vektori. Nemaju oni "svoje" vektore. Ovo na što ti, nagađam, misliš kad kažeš njihovi vektori su bića iz drugog svijeta, tj. iz vektorskog prostora . Postoji izomorfizam koji veže prvi i drugi svijet, ali to tu nema veze.
Norma u prostoru polinoma, jednom kad definiramo skalarni produkt, dobiva se ovako:
Lako se provjeri da je ovako stvarno definirana norma.
Sad kad imaš skalarni produkt i normu, lako možeš provesti Gramm-Schmidtov postupak ortonormiranja skupa S.
Ako nisam pogriješio u računu, skup je ortonormirana baza u prostoru polinoma najviše trećeg stupnja.
_________________ I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
Zadnja promjena: Melkor; 21:37 sri, 17. 5. 2006; ukupno mijenjano 4 put/a.
|