Druga lema - konveksne funkcije (objasnjenje gradiva)

[gosca]

Neka je D podskup od R. Slijedece tvrdnje su ekvivalentne:

i) Pu je ispod segmenta PxPy (f je konveksna)
ii) Nagib pravca PxPu⇐ nagib pravca PxPy
iii) Nagib pravca PxPy⇐ nagib pravca PuPy

Kako se dokazuje (ii)⇔(iii) i (i)⇔(ii)?

Uopce otkud nam f(u)⇐f(x)+ [f(y)-f(x)]/(y-x)*(u-x)

[krcko]

Fale objasnjenja oznaka i kvantifikatori. Pretpostavljam:
1) f:D->R, pri cemu D nije bilo kakav podskup od R nego interval
2) za x iz D oznaka Px znaci par (x,f(x))
3) sve je univerzalno kvantificirano po x, y, u iz D, u strogo izmedju x i y
Tocno?

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[Gost]

Sve ovo je tocno kaj si napisao, ispricavam se na nepreciznosti ali tako je to prof.Caklovic napisao na predavanjima, doslovno je preneseno.

[krcko]

OK, ajmo dokazati ii) ⇒ i). BSOMP da je x<y i neka je t iz 〈0,1〉 takav da je u=(1-t)x+ty. Ovo pod ii) znaci da je

Sad uvrsti u, malo racunaj i dobit ces nejednakost , a to je i). U svakom koraku se mozes vratiti natrag, tako da je to zapravo dokaz ekvivalencije i) ⇔ ii). Potpuno analogno se dokazuje ekvivalencija i)⇔iii), a trecu ne moras dokazivati zbog tranzitivnosti. Eto, HTH.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.