[quote]Kako u unit. pros. P4 (pol.s real.koef. manjeg od 4.stupnja),
ortonormirati stand.kan. bazu?
Skalarni produkt definiran je kao skal(p sa q)=integral od -1 do 1 p(t)q(t)dt... [/quote]
Standardna baza u prostoru polinoma stupnja najviše 3 je [latex]S=\
{1,x,x^2,x^3\
}[/latex].
Skalarni produkt je definiran s [latex]\
left<p,q\
right>:=\
int_{-1}^1p(t)q(t)dt[/latex]. To stvarno jest skalarni produkt. (Provjeri!)
Ortonormiranje provodimo Gramm-Schmidtovim postupkom.
[quote]i potpitanje: kako se racuna norma kod polinoma, tj. njihovih vektora?! samo izračunati korijen iz zbroja kvadrata koef. ?! [/quote]
Prvo uoči jednu stvar: u vektorskom prostoru polinoma polinomi [i]jesu[/i] vektori. Nemaju oni "svoje" vektore. :) Ovo na što ti, nagađam, misliš kad kažeš njihovi vektori su bića iz drugog svijeta, tj. iz vektorskog prostora [latex]\
mathbb{R}^4[/latex]. Postoji izomorfizam koji veže prvi i drugi svijet, ali to tu nema veze.
Norma u prostoru polinoma, jednom kad definiramo skalarni produkt, dobiva se ovako:
[latex]\
left\
|p\
right\
|:=\
sqrt{\
left<p,p\
right>}=\
sqrt{\
int_{-1}^1p(t)^2dt}[/latex]
Lako se provjeri da je ovako stvarno definirana norma.
Sad kad imaš skalarni produkt i normu, lako možeš provesti Gramm-Schmidtov postupak ortonormiranja skupa S.
[latex]{\
setlength{\
arraycolsep}{1.5pt}
\
begin{array}{rcl}
p_0 & := & 1 \
\
q_0 & := & \
displaystyle\
frac{p_0}{\
left\
|p_0\
right\
|} = \
frac{1}{\
sqrt{2}} \
\
p_1 & := & \
displaystyle x - \
left<x,q_0\
right>q_0 = x - \
frac{1}{\
sqrt{2}}\
int_{-1}^1\
frac{1}{\
sqrt{2}}xdx = x \
\
q_1 & := & \
displaystyle\
frac{p_1}{\
left\
|p_1\
right\
|} = \
sqrt{\
frac{3}{2}}x \
\
p_2 & := & x^2 - \
left<x^2,q_1\
right>q_1 - \
left<x^2,q_0\
right>q_0 = \
\
& = & \
displaystyle x^2-\
frac{3}{2}x\
int_{-1}^{1}\
frac{3}{2}x^3dx-\
frac{1}{\
sqrt{2}}\
int_{-1}^{1}\
frac{1}{\
sqrt{2}}x^2dx = \
\
& = & \
displaystyle x^2-\
frac{1}{3} \
\
q_2 & := & \
displaystyle\
frac{p_2}{\
left\
|p_2\
right\
|} = \
sqrt{\
frac{45}{8}}\
left(x^2-\
frac{1}{3}\
right) \
\
p_3 & := & x^3 - \
left<x^3,q_2\
right>q_2 - \
left<x^3,q_1\
right>q_1 - \
left<x^3,q_0\
right>q_0 = \
\
& = & \
displaystyle\
ldots = x^3 - \
frac{3}{5}x \
\
q_3 & := & \
displaystyle\
frac{p_3}{\
left\
|p_3\
right\
|} = \
sqrt{\
frac{175}{8}}\
left(x^3-\
frac{3}{5}x\
right)
\
end{array}}
[/latex]
Ako nisam pogriješio u računu, skup [latex]Q=\
{q_0,q_1,q_2,q_3\
}[/latex] je ortonormirana baza u prostoru polinoma najviše trećeg stupnja.
Prvo uoči jednu stvar: u vektorskom prostoru polinoma polinomi jesu vektori. Nemaju oni "svoje" vektore. 
Ovo na što ti, nagađam, misliš kad kažeš njihovi vektori su bića iz drugog svijeta, tj. iz vektorskog prostora 
. Postoji izomorfizam koji veže prvi i drugi svijet, ali to tu nema veze.
Norma u prostoru polinoma, jednom kad definiramo skalarni produkt, dobiva se ovako:
Lako se provjeri da je ovako stvarno definirana norma.
Sad kad imaš skalarni produkt i normu, lako možeš provesti Gramm-Schmidtov postupak ortonormiranja skupa S.
Ako nisam pogriješio u računu, skup 
je ortonormirana baza u prostoru polinoma najviše trećeg stupnja.
_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
