Singulariteti, reziduumi,...

[Gost]

f(z)=integral dz/(i-cos z)

kak sad???!.. i-cosz=0
malo ubacimo one formulice zsa i koprcam se u tome i dobijem
e^2zi+1-2ie^iz supstituiram e^iz=t i tu nastaje kaos... jednadžbica glasi t^2+2it+1=0 t1=i(1+sqrt2) t2=i(1-sqrt2) i onda dobijem da je e^iz=t.. i ja to nikako ne mogu riješiti!!


zad2: f(z)= sin(1/(1-2z))/(z^2) kako odrediti Res(f,0)=?
kao z=0 je pol drugog reda a z=1/2 je pol 1 reda /jel??
i kak sad dalje?? probala sam preko one formule sa lim jer kao ona druga prepiši brojnik, a deriviraj nazivnik nema sve uvjete zadovoljene, ali ni taj limes nemrem riješiti!!

[vili]

1. zad:
Dobijem isto kao i ti e^iz i od tuda dobijem ili za e^iz=1+sqrt2 da je x=pi*(1/2+2k), k iz Z, a y=ln(1/1+sqrt2), a za e^iz=1-sqrt2 x=pi*(3/2+2k), k iz Z, a y=ln(1/sqrt2-1) i niti jedna od tih točaka ne leži unutar danog kvadrata pa je integral jednak 0.
2. zad:
Iskoristi prvo od onih pravila za računanje reziduuma i f-ja u z=0 ima pol 2. reda pa imaš lim (sin(1/1-2z))'= lim cos(1/1-2z)*(2/(1-2z)^2)=2*cos1. A što se tiče z=1/2 to je izvan dane elipse -> integral je 4*pi*i*cos1.

Hope it helps

[Gost]

[vili]

Krivo sam napisao u gornjem postu, t1=e^iz=i*(1+sqrt2) (ili - za t2). Budem napisao za t1, drugi slučaj je analogan.
Dakle e^iz=i(1+sqrt2). e^i(x+yi)=(e^-y)*(cosx+i sinx) i sad ti je e^-y jednak modulu broja u kompleksnoj ravnini, a x jednak kutu (u polarnim koordinatama u kompleksnoj ravnini).
Očito je za i(1+sqrt2) x jednak pi/2+2k*pi (nacrtaj u ravnini pa će ti biti jasno), a e^-y=1+sqrt2 i to logaritmiraš i dobiješ -y=ln(1+sqrt2) odn y=ln(1/1+sqrt2).

[Mr.Doe]

Treba razviti red oko nule : f(z)=(e^z-1)/z^3*(z-1)).

No , sa "desnom" stranom u zadatku nemam problema no ako zelim razviti u red e^z/(z^3*(z-1)) cak i ako rastavim na parc. razlomke dobivam nesta tipa e^z/z-1 ,te dalje ne znam sta raditi sa time,da li napisati kao produkt geo. reda i razvoja eksp. f-ije ,ili nesta "trece".

[mea]

[vili]

Zadatak 6. iz 12. vježbi mi ne ispadne kao u rješenjima. Provjerih ga i ne mogu naći grešku.
Ispadne mi (pi/10)(4cos1-e^-2) a u rješenjima je (pi/5)(cos1-e^-2).
Međurezultati su mi
Res(f,1)=(cos1+isin1)/5
Res(f,2i)=-(e^-2)/(8+4i)
gdje je f(z)=(e^iz)/(z^2+4)(z-1)
Pa ako je netko rješavao nek me uputi..

[mea]

[vili]

Evo dobio sam. Nešto sam sprčkao na kraju u računu.
Tnx

[Mr.Doe]

U 2. zadatku http://web.math.hr/nastava/ma34/vjez4/v10.pdf dobijem da je 0 pol 6 reda (ako se ne varam) ,te ukoliko želim izracunati res moram dervirati 5 puta , (osvrcem se na Res(f,z)=1/(m-1)!*d^m-1/dz^m-1*((t-z)^k*f)) ) ;kako u tom slucaju??

[mea]