| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
multiplex
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Pridružen/a: 08. 05. 2006. (15:21:19)
Postovi: (20)16
Spol: 
|
 Postano: 15:26 sub, 20. 5. 2006 Naslov: |
    |
|
|
Draga moja grupo [b]L-P[/b],
Prihvatimo izazov za pošteno analitičko nadmetanje, ne samo zato što znamo da smo [u]za dva koplja bolji[/u] i zato što ćemo ih naprosto pomesti svojim znanjem i vještinom, nego i radi krasne prilike za druženje uz istovremeno vježbanje pred kolokvij. Ne znam što vi mislite o takvom natjecanju, ali ja sam za.
Vjeko (via multiplex)
[size=9]Poticajna obavijest je stavljena ovdje, jer su nam iz nekog razloga zaključali naš L-P topic. Ali ne damo se (jer smo najbolji, između ostalog).[/size]
Draga moja grupo L-P,
Prihvatimo izazov za pošteno analitičko nadmetanje, ne samo zato što znamo da smo za dva koplja bolji i zato što ćemo ih naprosto pomesti svojim znanjem i vještinom, nego i radi krasne prilike za druženje uz istovremeno vježbanje pred kolokvij. Ne znam što vi mislite o takvom natjecanju, ali ja sam za.
Vjeko (via multiplex)
Poticajna obavijest je stavljena ovdje, jer su nam iz nekog razloga zaključali naš L-P topic. Ali ne damo se (jer smo najbolji, između ostalog).
_________________
Vjeko (speaking thru multiplex)
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
|
| [Vrh] |
|
K
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vanish
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 02. 10. 2005. (22:45:35)
Postovi: (6D)16
Spol:
Lokacija: stambena zgrada
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 20:39 sub, 20. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="K"]Hehehe,nemate vi pojma što mi sve znamo i što mi sve učimo!!!:wink:[/quote]
Da, ne bih se iznenadio, uz Ilju je i gradivo treće godine na prvoj moguće... šalim se, al baš je bilo zanimljivo kad je bio jednom na zamjeni, radili smo malo brže neg inače. Naravno, ne može bit bolje nego kad vjeko drži vježbe, ali je dosta blizu.
Neka bolji pobjede, znači grupa L-P
| K (napisa): | Hehehe,nemate vi pojma što mi sve znamo i što mi sve učimo!!! |
Da, ne bih se iznenadio, uz Ilju je i gradivo treće godine na prvoj moguće... šalim se, al baš je bilo zanimljivo kad je bio jednom na zamjeni, radili smo malo brže neg inače. Naravno, ne može bit bolje nego kad vjeko drži vježbe, ali je dosta blizu.
Neka bolji pobjede, znači grupa L-P
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
mladac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 10. 2005. (22:46:14)
Postovi: (4D5)16
Spol: 
Lokacija: zg
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
andreao
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2005. (12:08:18)
Postovi: (46F)16
Lokacija: SK
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 17:27 pon, 22. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
Drage grupe G-K i L-P!
Svaka propaganda je dobrodošla, no da ne bi ispalo da ste jaki samo na riječima, evo nekoliko (malo težih) zadataka za razgibavanje:
[b]1.[/b] Neka je [latex]f: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}[/latex] funkcija zadana formulom [latex]f(x):=\frac{1}{1+x^2}[/latex]. Označimo s [latex]M_n f[/latex] maksimum [latex]n[/latex]-te derivacije od [latex]f[/latex] na [latex][-1,1][/latex]. Izračunajte limes [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{M_n f}{(n+1)!}[/latex].
[b]2.[/b] Odredite broj realnih rješenja jednadžbe [latex]\mathrm{sh}(\ln|x|-x)=\cos x[/latex].
[b]3.[/b] Odredite broj realnih rješenja jednadžbe [latex]\cos x + \ln \cos x + x^2 =0[/latex] na intevalu [latex]\langle 0,\frac{\pi}{2} \rangle[/latex].
[b]4.[/b] Neka su [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] i [latex]\alpha_1, \ldots , \alpha_n \in \mathbb{R}[/latex]. Dokažite da jednadžba [latex]\sum_{k=1}^{n} \alpha_k \cos(k \pi x)=0[/latex] ima barem dva rješenja unutar segmenta [latex][-1,1][/latex].
[b]5.[/b] Neka su [latex]\alpha, \beta[/latex] i [latex]\gamma[/latex] kutevi nekog trokuta. Dokažite nejednakost [latex]\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/latex].
[b]6.[/b] Neka je [latex]I:=[a,b]\subseteq
\mathbb{R}[/latex] i neka je [latex]f: I \rightarrow\mathbb{R}[/latex] neprekidna funkcija koja je klase [latex]C^2(\langle a,b\rangle)[/latex]. Pretpostavimo da [latex]f[/latex] na intervalu [latex]\langle a,b\rangle[/latex] zadovoljava diferencijalnu jednadžbu [latex](1+x^2)y''-e^{x}y'+1=0[/latex]. Dokažite da [latex]f[/latex] svoj minimum poprima na rubu segmenta [latex]I[/latex].
[b]7.[/b] Neka je [latex]S:=\{\frac{2m-1}{2n-1}: \ m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \} \subseteq \mathbb{Q}[/latex] i označimo sa [latex]\chi_S[/latex] karakterističnu funkciju skupa [latex]S[/latex]. ([latex]\chi_S : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/latex], [latex]\chi_S(x)=1[/latex] ako [latex]x \in S[/latex], [latex]0[/latex] inače). Dokažite da [latex]\chi_S[/latex] nije R-integrabilna ni na kojem segmentu [latex][a,b] \subseteq \mathbb{R}[/latex], te da [latex]\chi_S[/latex] nema primitivnu funkciju.
[b]8.[/b] (a) Nađite primjer funkcije [latex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] koja nema primitivnu funkciju, nema prekida prve vrste, ali je R-integrabilna na svakom segmentu [latex][a,b] \subseteq \mathbb{R}[/latex].
(b) Nađite primjer derivabilne funkcije [latex]f:I \rightarrow\mathbb{R}[/latex] ([latex]I:=[a,b] \subseteq \mathbb{R}[/latex]) (s jednostranim diferencijskim limesima u rubovima) za koju je [latex]f'[/latex] omeđena funkcija na [latex]I[/latex], ali da [latex]f'[/latex] nije R-integrabilna na [latex]I[/latex].
[b]9.[/b] Izračunajte integrale:
(a) [latex]\int_{-2006 \pi}^{2006 \pi} \min \{ |\cos 4x|, |\sin 8x|\}\mathop{}dx[/latex].
(b) [latex]\int_{\ln 0.5}^{\ln 2.5}e^{\big||x+1|-|x-1|\big|}\cdot \mathrm{sgn}\bigg(\ln\bigg|\frac{1+x}{1-x}\bigg|\bigg)\mathop{}dx[/latex].
(c) [latex]\int_{-2005}^{2006}(x^2 -\lfloor x^2 \rfloor) \cdot \mathrm{sgn}\bigg[\arcsin \bigg(\frac{x}{2006}\bigg)\bigg]\mathop{} dx[/latex].
Eto. :D
Drage grupe G-K i L-P!
Svaka propaganda je dobrodošla, no da ne bi ispalo da ste jaki samo na riječima, evo nekoliko (malo težih) zadataka za razgibavanje:
1. Neka je  funkcija zadana formulom  . Označimo s  maksimum  -te derivacije od  na  . Izračunajte limes  .
2. Odredite broj realnih rješenja jednadžbe  .
3. Odredite broj realnih rješenja jednadžbe  na intevalu  .
4. Neka su  i  . Dokažite da jednadžba  ima barem dva rješenja unutar segmenta .
5. Neka su  i  kutevi nekog trokuta. Dokažite nejednakost  .
6. Neka je  i neka je  neprekidna funkcija koja je klase  . Pretpostavimo da na intervalu  zadovoljava diferencijalnu jednadžbu  . Dokažite da svoj minimum poprima na rubu segmenta  .
7. Neka je  i označimo sa  karakterističnu funkciju skupa  . ( ,  ako  ,  inače). Dokažite da nije R-integrabilna ni na kojem segmentu  , te da nema primitivnu funkciju.
8. (a) Nađite primjer funkcije  koja nema primitivnu funkciju, nema prekida prve vrste, ali je R-integrabilna na svakom segmentu .
(b) Nađite primjer derivabilne funkcije  ( ) (s jednostranim diferencijskim limesima u rubovima) za koju je  omeđena funkcija na , ali da nije R-integrabilna na .
9. Izračunajte integrale:
(a)  .
(b)  .
(c)  .
Eto. 
Zadnja promjena: Ilja; 21:46 pon, 22. 5. 2006; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
mladac
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 10. 2005. (22:46:14)
Postovi: (4D5)16
Spol:
Lokacija: zg
|
|
| [Vrh] |
|
multiplex
Forumaš s poteškoćama u pisanju
Pridružen/a: 08. 05. 2006. (15:21:19)
Postovi: (20)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 20:44 pon, 22. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
Evo, ne idem spavat do ne rijesim.
2. Ima 1 rješenje
3. Ima 1 rješenje
4. Definirajmo funkciju f(x)=zbroj(k=1,n)(alfa_k*cos(k*pi*x)). Uočimo da je onda f parna i neprekidna. Uočimo da je f(0)+f(1)=2* zbroj svih koeficijenata s parnim indeksom, označimo ga sa 2*P. Znači f(0)+f(1)=2*P.
Promotrimo f(0)*f(1)=(2*P-f(1))*f(1)= P^2-(f(1)+P)^2 <= 0.
U slučaju da je lijeva strana strogo manja od 0 imamo da je f(0)*f(1)<0, što znači da su obje vrijednosti različite od 0 i različitog predznaka, a kako je funkcija f neprekidna onda poprima sve vrijednosti između f(0) i f(1) odakle zaključujemo da f na <0,1> ima nultočku. Kako je f i parna funkcija zaključujemo da i na <-1,0> ima nultočku.
U slučaju da vrijedi f(0)*f(1)= P^2-(f(1)+P)^2=0 nužno mora biti f(1)=0 , a kako je f parna i f(-1)=0. Dokaz gotov
5. dokaz trivijalan
8. a) f(x)= 1, za x različito od 1; 2 za x=1. (mislim da sam to dobro, ali ako netko zna da li je ili nije neka kaže)
9. c) 1/2
S vremenom ću upotpunjavat...
Evo, ne idem spavat do ne rijesim.
2. Ima 1 rješenje
3. Ima 1 rješenje
4. Definirajmo funkciju f(x)=zbroj(k=1,n)(alfa_k*cos(k*pi*x)). Uočimo da je onda f parna i neprekidna. Uočimo da je f(0)+f(1)=2* zbroj svih koeficijenata s parnim indeksom, označimo ga sa 2*P. Znači f(0)+f(1)=2*P.
Promotrimo f(0)*f(1)=(2*P-f(1))*f(1)= P^2-(f(1)+P)^2 <= 0.
U slučaju da je lijeva strana strogo manja od 0 imamo da je f(0)*f(1)<0, što znači da su obje vrijednosti različite od 0 i različitog predznaka, a kako je funkcija f neprekidna onda poprima sve vrijednosti između f(0) i f(1) odakle zaključujemo da f na <0,1> ima nultočku. Kako je f i parna funkcija zaključujemo da i na <-1,0> ima nultočku.
U slučaju da vrijedi f(0)*f(1)= P^2-(f(1)+P)^2=0 nužno mora biti f(1)=0 , a kako je f parna i f(-1)=0. Dokaz gotov
5. dokaz trivijalan
8. a) f(x)= 1, za x različito od 1; 2 za x=1. (mislim da sam to dobro, ali ako netko zna da li je ili nije neka kaže)
9. c) 1/2
S vremenom ću upotpunjavat...
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
Zadnja promjena: alen; 19:34 čet, 25. 5. 2006; ukupno mijenjano 3 put/a.
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 22:20 pon, 22. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="alen"]Evo, ne idem spavat do ne rijesim.
2. Ima 1 rješenje
3. Ima 1 rješenje
5. dokaz trivijalan
S vremenom ću upotpunjavat...[/quote]
E točno sam zanao da ću tebe prvog namamiti. :upecan: :okgreen: Al me zanima kako si uspio trivijalno dokazati 5. zad??? :zbunjen:
[quote="mladac"] al nemre to tak ilja... ti si pristran[/quote]
Ma jok, otkud ti to??? :lol:
[quote]nemreš baš tak očito igrat prljavo...[/quote]
Ajde dobro! :wink:
[quote]kad naš vjeko smisli zadatke nebuš ih čak ni ti znao rješit [/quote]
Pa ko kaže da uopće znam i svoje rješit? :uncle_sammy:
[quote="multiplex"]Osim toga, pa baš su mu dobri zadaci, stvarno se Ilja potrudio. [/quote]
Hvala ti srce, mada si mi sad smrtni neprijatelj, ipak ti dam jednu :kisscheek:
| alen (napisa): | Evo, ne idem spavat do ne rijesim.
2. Ima 1 rješenje
3. Ima 1 rješenje
5. dokaz trivijalan
S vremenom ću upotpunjavat... |
E točno sam zanao da ću tebe prvog namamiti.   Al me zanima kako si uspio trivijalno dokazati 5. zad??? 
| mladac (napisa): | | al nemre to tak ilja... ti si pristran |
Ma jok, otkud ti to??? 
| Citat: | | nemreš baš tak očito igrat prljavo... |
Ajde dobro!
| Citat: | | kad naš vjeko smisli zadatke nebuš ih čak ni ti znao rješit |
Pa ko kaže da uopće znam i svoje rješit? 
| multiplex (napisa): | | Osim toga, pa baš su mu dobri zadaci, stvarno se Ilja potrudio. |
Hvala ti srce, mada si mi sad smrtni neprijatelj, ipak ti dam jednu 
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 0:41 uto, 23. 5. 2006 Naslov: |
|
|
Za 5.? Evo ovako:
f(x,y,z)=sinx+siny+sinz; fi(x,y,z)=x+y+z-pi=0. Tražim globalni ekstrem restrikcije f uz uvjete fi i 0<x<pi , 0<y<pi, 0<z<pi. Definiram L(x,y,z,lambda) kao L:= f(x,y,z)+lambda*fi(x,y,z). Tražim stacionarne točke i dobivam jednadžbe:
cosx+lambda=0 => cosx=-lambda
cosy+lambda=0 => cosy=-lambda
cosz+lambda=0 => cosz=-lambda
x+y+z-pi=0
Uz zadana ograničenja, jedino rješenje sustava je x=y=z=pi/3 i lambda=-1/2.
Da provjerim da je to stvarno ekstrem treba vidjeti da postoji theta takva da je
(nabla f)(pi/3,pi/3,pi/3)=theta*(nabla fi)(pi/3,pi/3,pi/3), odnosno
1/2(i+j+k)=theta*(i+j+k), a to je ispunjeno za theta=1/2. Znači da mi je (pi/3,pi/3,pi/3) jedini ekstrem dane restrikcije.
Sada samo uzmem proizvoljnu točku iz domene restrikcije, vidim da je vrijednost manja od vrijednosti u ekstremu koja, začudo, iznosi baš 3 korijena iz 3 kroz 2.
Eto, priznajem da ne razumijem baš teoriju iza toga, ali rutinu sam naučio
:lol:
Ostatak ilji za zadaću...
Ne mogu više izdržat, idem se tuširat pa spavat, sry Ilja
P.S. Inače, Vjeko baš nije normalan u zadnje vrijeme, tjera nas da učimo diferencijalni račun funkcija više varijabli, nekakav stokesov teorem i višestruke integrale... i stalno nešto bunca kako je važno da mi pobjedimo, da bi Ilja tak nešt mogao zadat...
P.P.S. Sad je 03:33, sutra tjelesni u 09:00. Izgleda da opet neću doć :(
f(x,y,z)=sinx+siny+sinz; fi(x,y,z)=x+y+z-pi=0. Tražim globalni ekstrem restrikcije f uz uvjete fi i 0<x<pi , 0<y<pi, 0<z<pi. Definiram L(x,y,z,lambda) kao L:= f(x,y,z)+lambda*fi(x,y,z). Tražim stacionarne točke i dobivam jednadžbe:
cosx+lambda=0 => cosx=-lambda
cosy+lambda=0 => cosy=-lambda
cosz+lambda=0 => cosz=-lambda
x+y+z-pi=0
Uz zadana ograničenja, jedino rješenje sustava je x=y=z=pi/3 i lambda=-1/2.
Da provjerim da je to stvarno ekstrem treba vidjeti da postoji theta takva da je
(nabla f)(pi/3,pi/3,pi/3)=theta*(nabla fi)(pi/3,pi/3,pi/3), odnosno
1/2(i+j+k)=theta*(i+j+k), a to je ispunjeno za theta=1/2. Znači da mi je (pi/3,pi/3,pi/3) jedini ekstrem dane restrikcije.
Sada samo uzmem proizvoljnu točku iz domene restrikcije, vidim da je vrijednost manja od vrijednosti u ekstremu koja, začudo, iznosi baš 3 korijena iz 3 kroz 2.
Eto, priznajem da ne razumijem baš teoriju iza toga, ali rutinu sam naučio
Ostatak ilji za zadaću...
Ne mogu više izdržat, idem se tuširat pa spavat, sry Ilja
P.S. Inače, Vjeko baš nije normalan u zadnje vrijeme, tjera nas da učimo diferencijalni račun funkcija više varijabli, nekakav stokesov teorem i višestruke integrale... i stalno nešto bunca kako je važno da mi pobjedimo, da bi Ilja tak nešt mogao zadat...
P.P.S. Sad je 03:33, sutra tjelesni u 09:00. Izgleda da opet neću doć 
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 10:13 uto, 23. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
Hm... izvuko se. Ali koji si ti muljator... hm.. pa kak možeš tako lijepu nejednakost napasti tako teškom artiljerijom, to je nehumano (kao kad u civ2 Zulu-pleme napadaš tenkovima, recimo). I otkud ti uopće znaš za Lagrangeov multiplikator i uvjetnu maksimizaciju/minimizaciju na plohama? Hm... :?
[quote="alen"]P.S. Inače, Vjeko baš nije normalan u zadnje vrijeme, tjera nas da učimo diferencijalni račun funkcija više varijabli, nekakav stokesov teorem i višestruke integrale... [/quote]
Stvarno je puko ko šiba. :aliendance:
Hm... izvuko se. Ali koji si ti muljator... hm.. pa kak možeš tako lijepu nejednakost napasti tako teškom artiljerijom, to je nehumano (kao kad u civ2 Zulu-pleme napadaš tenkovima, recimo). I otkud ti uopće znaš za Lagrangeov multiplikator i uvjetnu maksimizaciju/minimizaciju na plohama? Hm... 
| alen (napisa): | | P.S. Inače, Vjeko baš nije normalan u zadnje vrijeme, tjera nas da učimo diferencijalni račun funkcija više varijabli, nekakav stokesov teorem i višestruke integrale... |
Stvarno je puko ko šiba. 
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 15:42 sri, 24. 5. 2006 Naslov: |
|
|
Super mi je bilo bacat ICBM na nerazvijene protivnike... Ma na fer-u sad to rade na prvoj godini pa se malo informiram (učim recepte napamet). Ni ja ni ferovci ne znamo zašto je to tako, ali ja se tješim da ću to naučit dogodine, a njih to ni ne zanima...
E, Ilja, jel u 8.a) nema primitivnu funkciju na R ili nema primitivnu funkciju na svakom intervalu <a,b> podskup od R?
I još me zanima ono u vezi dodatnih vježbi, jel možeš sam malo objasnit o čemu se radi, jel su svi pozvani, šta se na tom radi...
E, Ilja, jel u 8.a) nema primitivnu funkciju na R ili nema primitivnu funkciju na svakom intervalu <a,b> podskup od R?
I još me zanima ono u vezi dodatnih vježbi, jel možeš sam malo objasnit o čemu se radi, jel su svi pozvani, šta se na tom radi...
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
Ilja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2002. (22:22:31)
Postovi: (1AF)16
|
| Postano: 22:53 sri, 24. 5. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="alen"] E, Ilja, jel u 8.a) nema primitivnu funkciju na R ili nema primitivnu funkciju na svakom intervalu <a,b> podskup od R?[/quote]
Ovo prvo-> na svojoj domeni, tj. na čitavom [latex]\mathbb{R}[/latex]
[quote]
I još me zanima ono u vezi dodatnih vježbi, jel možeš sam malo objasnit o čemu se radi, jel su svi pozvani, šta se na tom radi...[/quote]
Mogu, ali ne još. U svakom slučaju ste pozvani svi, no Vjeko i ja se još moramo dogovoriti oko detalja.
| alen (napisa): | | E, Ilja, jel u 8.a) nema primitivnu funkciju na R ili nema primitivnu funkciju na svakom intervalu <a,b> podskup od R? |
Ovo prvo→ na svojoj domeni, tj. na čitavom 
| Citat: |
I još me zanima ono u vezi dodatnih vježbi, jel možeš sam malo objasnit o čemu se radi, jel su svi pozvani, šta se na tom radi... |
Mogu, ali ne još. U svakom slučaju ste pozvani svi, no Vjeko i ja se još moramo dogovoriti oko detalja.
|
|
| [Vrh] |
|
kus
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 12. 2005. (12:33:18)
Postovi: (4F)16
Spol: 
Lokacija: Poso, kuća birtija
|
|
| [Vrh] |
|
|
ali ovako jednostavno nemam motivacije 