Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Mala sitnica iz teorema o diskriminanti jedn. 3. st.
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Silver Surfer
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 03. 2006. (12:21:57)
Postovi: (28)16
Sarma = la pohva - posuda
2 = 2 - 0
PostPostano: 22:38 sri, 7. 6. 2006    Naslov: Mala sitnica iz teorema o diskriminanti jedn. 3. st. Citirajte i odgovorite
Može li mi netko reći kako iz ovoga [latex]\displaystyle u_1v_1=-\frac{p}{3}, |u_1|=|v_1|\neq 0, u_1,v_1\in\mathbb{C}, p\in\mathbb{R} [/latex] slijedi ovo [latex]\displaystyle -\frac{p}{3|u_1|^2}=1[/latex]?

Očito je nešto jednostavno, ali ja ne vidim. Naime, radi se o teoremu o diskriminanti jednadžbe trećeg stupnja, ali da sad ne kompliciram...

Hvala
Može li mi netko reći kako iz ovoga slijedi ovo ?

Očito je nešto jednostavno, ali ja ne vidim. Naime, radi se o teoremu o diskriminanti jednadžbe trećeg stupnja, ali da sad ne kompliciram...

Hvala


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh
PostPostano: 3:21 čet, 8. 6. 2006    Naslov: Re: Mala sitnica iz teorema o diskriminanti jedn. 3. st. Citirajte i odgovorite
[latex]
\displaystyle{
u_1v_1=-\frac{p}{3} \Rightarrow
|u_1| \cdot |v_1| = |u_1v_1| = \frac{|p|}{3}
}
[/latex]
Zbog [latex] |u_1|=|v_1| [/latex], imamo
[latex]
\displaystyle{
|u_1|^2 = \frac{|p|}{3} \iff \frac{|p|}{3|u_1|^2} = 1
}
[/latex]

[latex]
\displaystyle{
p<0 \Rightarrow -\frac{p}{3|u_1|^2}=1
}
[/latex]
[latex]
\displaystyle{
p>0 \Rightarrow \frac{p}{3|u_1|^2}=1
}
[/latex]

Koliko ja vidim ova tvoja tvrdnja ne vrijedi za [latex]p \in \mathbb{R}_+ [/latex].

Zbog , imamo





Koliko ja vidim ova tvoja tvrdnja ne vrijedi za .



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Silver Surfer
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 03. 2006. (12:21:57)
Postovi: (28)16
Sarma = la pohva - posuda
2 = 2 - 0
PostPostano: 17:50 čet, 8. 6. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Znam da se tako čini, ali treba vrijediti za svaki [latex]p\in \mathbb{R}[/latex]. Jer p je koeficijent jednadžbe [latex]x^3+px+q=0[/latex] rješenje prikazujemo kao [latex]x=u+v[/latex], otuda i naši [latex]u_1[/latex] i [latex]v_1[/latex].

Ma taj teorem kaže da ako vrijedi [latex]\Delta<0[/latex], onda su svi korijeni jednadžbe [latex]x^3+px+q=0[/latex] realni i različiti. [latex]\Delta=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3[/latex]

E sad dokaz kreće: Ako je [latex]\Delta<0[/latex], tada su brojevi [latex]t_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}, t_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}[/latex] konjugirano kompleksni, pa je stoga

[latex]|t_1|=|t_2|\neq 0[/latex] i [latex]t_1\neq t_2[/latex].

Neka su [latex]u_1[/latex] i [latex]v_1[/latex] brojevi takvi da je

[latex]u_1^3=t_1[/latex], [latex]\displaystyle u_1v_1=-\frac{p}{3}[/latex], [latex]v_1^3=t_2[/latex].

Tada slijedi da je [latex]|u_1|^3=|v_1|^3\neq 0[/latex] i

[latex]|u_1|=|v_1|\neq 0[/latex].

Tada slijedi

[latex]u_1\neq v_1[/latex] i [latex]\displaystyle -\frac{p}{3|u_1|^2}=1[/latex].

Na osnovi toga zaključujemo

[latex]\displaystyle v_1=\frac{p}{3u_1}=-\frac{p}{3u_1\cdot\bar{u_1}}\cdot\bar{u_1}=-\frac{p}{3|u_1|^2}\cdot\bar{u_1}=\bar{u_1}[/latex].

Iz toga slijedi da su [latex]u_1[/latex] i [latex]v_1[/latex] konjugirano kompleksni brojevi, itd...

Ja i dalje ne vidim zašto ono vrijedi. :(
Znam da se tako čini, ali treba vrijediti za svaki . Jer p je koeficijent jednadžbe rješenje prikazujemo kao , otuda i naši i .

Ma taj teorem kaže da ako vrijedi , onda su svi korijeni jednadžbe realni i različiti.

E sad dokaz kreće: Ako je , tada su brojevi konjugirano kompleksni, pa je stoga

i .

Neka su i brojevi takvi da je

, , .

Tada slijedi da je i

.

Tada slijedi

i .

Na osnovi toga zaključujemo

.

Iz toga slijedi da su i konjugirano kompleksni brojevi, itd...

Ja i dalje ne vidim zašto ono vrijedi. Sad


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Elementarna matematika 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan