Zadatak (hermitski operator)

[Gost]

Hermitskom matricom (1 a // b 2) zadan je linearni operator A:C2 u C2.
Odredite uvjete na koeficijente a,b EC ako je poznato O E spektar(A).
Postoji li baza u kojoj se A može dijagonalizirati ? Ako postoji, nađite je!

Koji bi uvjeti bili dovoljni? A*=A daje (1 a // b 2)=(1 kb // ka 2) (k-kompleksno konjugiran). Mora biti: a=kb i b=ka
A det(A-lambda*I)=0 daje da lambda2-3lambda+(2-ab)=0 što znači da nužno mora ab=2,
to daje da mod(a)=mod(b)=4
Jel to dovoljan uvjet?

A što s dijagonalizacijom? Ako je ab=2, onda je det(A-lambda*I)=lambda(lamdbda-3) pa su alg.k.=geom.k.=1 pa je A dijagonalizabilna s bazom koju tvore svojstveni vektori ?

Što mi je promaklo?

[Gost]

ja imam jedno pitanje vezano uz ort. kompl. nad C

recimo: imam prostore L i Lt, tj. bazu za prostor L i njegov ortogonalni komplement. baze su iz prostora Cn. imam neki vektor u=(x1,...,xn), xiEC ;
u trebam prikazati kao u=a+b, aEL, bELt.

mene muči kako da nađem skalare koji mi daju prikaz vektora u kao lin.komb. vekt. iz baze za L i Lt ?
ti skalari su kompleksni pa mi jednadžba baš nije jednostavna...

bi li se moglo ortonormirati skup s vekt. iz baza za L i Lt pa preko fourierovog razvoja prikazati u ? a što ako je taj postupak ortonormiranja (preko G-S postupka) kompliciraniji nego neki drugi način traženja skalara? koji?

[Mad Wilson]

a*b=2, mislim da se nista vise ne moze zakljuciti.

Zasto bi moduli bili medusobno jednaki i jednaki 4?

Sto se dijagonalizablinosti tice, ako se ne varam hermitski operatori su uvijek dijagonalizabilni (kaze neki teorem).

Mislim da ti nista nije promaklo; baza je (1,-a),(1,b).

[Gost]

zato što da bi ta matrica uopće bila hermitska mora vrijediti
a=b konjugirano i b=a konjugirano
pa iz ab=2 slijedi a*a konjugirano=mod(a)na2

[Mad Wilson]

a da, da... istina