| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Pitalica
Gost
|
 Postano: 11:18 sub, 24. 6. 2006 Naslov: Pomoc oko propozicije iz LA2 |
    |
|
|
Treba mi pomoc oko jedne propozicije (p.1.13. u predavanjima profesora Bakića).
Naime,propozicija kaze:
Neka je A:V->W lin.operator i neka je dim V=n (konačna).Medjusobno je ekvivalentno:
(1) Aje izomorfizam
(2) Za svaku bazu {b1...bn} od V skup {Ab1,...Abn} je baza za W.
(3) Postoji baza {e1...en} od V t.d. je skup {Ae1...Aen} baza za W.
DOKAZ.
1=>2
Uzmamo bilo koju bazu {b1...bn} za V, iz neke od prethodnih napomena je {Ab1...Abn} sistem izvodnica za [b]ImA=W[/b]. Injektivni operator cuvaju nezavisnost,pa je {Ab1..Abn} nezavisan. I sad je {Ab1..Abn} kao nezavisan sistem izvodnica baza za W.
....
I sad dalje ide dokaz za ostatak,tu je sve jasno.
Ono što mi ovdje nije jasno je,odakle slijedi da je ImA=W? ImA jest potprostor od W,ali odakle nam da mu je dimenzija n?
Pretpostavka teorema je samo da je dimV=n;ne kaže se ništa o dimenziji prostora W (zapravo je direktan korolar propozicije da su izomorfni prostori jednako dimenzionalni).
Postoji jos korolar koji kaze da je izomorfan operator ujedno i surjektivan,ali to je opet uz pretpostavku da je dim V=dim W...i ja opet ne vidim otkud nam dimW=n?
Sve ostalo je jasno. Eto. Hvala puno.
Treba mi pomoc oko jedne propozicije (p.1.13. u predavanjima profesora Bakića).
Naime,propozicija kaze:
Neka je A:V→W lin.operator i neka je dim V=n (konačna).Medjusobno je ekvivalentno:
(1) Aje izomorfizam
(2) Za svaku bazu {b1...bn} od V skup {Ab1,...Abn} je baza za W.
(3) Postoji baza {e1...en} od V t.d. je skup {Ae1...Aen} baza za W.
DOKAZ.
1⇒2
Uzmamo bilo koju bazu {b1...bn} za V, iz neke od prethodnih napomena je {Ab1...Abn} sistem izvodnica za ImA=W. Injektivni operator cuvaju nezavisnost,pa je {Ab1..Abn} nezavisan. I sad je {Ab1..Abn} kao nezavisan sistem izvodnica baza za W.
....
I sad dalje ide dokaz za ostatak,tu je sve jasno.
Ono što mi ovdje nije jasno je,odakle slijedi da je ImA=W? ImA jest potprostor od W,ali odakle nam da mu je dimenzija n?
Pretpostavka teorema je samo da je dimV=n;ne kaže se ništa o dimenziji prostora W (zapravo je direktan korolar propozicije da su izomorfni prostori jednako dimenzionalni).
Postoji jos korolar koji kaze da je izomorfan operator ujedno i surjektivan,ali to je opet uz pretpostavku da je dim V=dim W...i ja opet ne vidim otkud nam dimW=n?
Sve ostalo je jasno. Eto. Hvala puno.
|
|
| [Vrh] |
|
Melkor
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: 
Lokacija: Void
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Melkor
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol:
Lokacija: Void
|
|
| [Vrh] |
|
HijenA
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: 
Lokacija: Prazan skup ;-)
|
|
| [Vrh] |
|
alen
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2005. (23:25:58)
Postovi: (221)16
|
| Postano: 13:30 sub, 24. 6. 2006 Naslov: Re: Pomoc oko propozicije iz LA2 |
|
|
|
[quote="Pitalica"]Neka je A:V->W lin.operator i neka je dim V=n (konačna).Medjusobno je ekvivalentno:
(1) Aje izomorfizam
(2) Za svaku bazu {b1...bn} od V skup {Ab1,...Abn} je baza za W.
(3) Postoji baza {e1...en} od V t.d. je skup {Ae1...Aen} baza za W.
DOKAZ.
1=>2
Uzmamo bilo koju bazu {b1...bn} za V, iz neke od prethodnih napomena je {Ab1...Abn} sistem izvodnica za [b]ImA=W[/b]. Injektivni operator cuvaju nezavisnost,pa je {Ab1..Abn} nezavisan.
Sve ostalo je jasno. Eto. Hvala puno.[/quote]
Dakle, po (1) je A:V->W izomorfizam, znači linearan, injekcija i surjekcija (uočimo da A ima inverz koji je također linearan, ako treba mogu dodati i taj dokaz).
Sada napravimo malu lemu: Neka je A:V->W lin.operator i neka je dim V=n. Tada je skup A(v1)...A(vk) linearno neovisan akko je skup v1...vk linearno neovisan.
=>
a1*v1+a2*v2+...+ak*vk=0 => A(a1*v1+a2*v2+...+ak*vk)=0
=> a1*A(v1)+...ak*A(vk)=0 a po pretpostavci a1...ak su svi jednaki 0.
<=
a1*A(v1)+...ak*A(vk)=0 => A^(-1)(a1*A(v1)+...ak*A(vk))=0, a znamo da je A^(-1) linearan pa je a1*v1+...+ak*vk=0 a po pretpostavci su opet svi a1...ak jednaki 0.
To što je surjekcija znači da za svaki vektor w iz W postoji vektor v iz V t.d. je Av=w. Međutim, svaki vektor v iz V se može na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija v1...vn vektora iz baze za V. Odnosno:
v=a1*v1+...+an*vn => w=Av=A(a1*v1+...+an*vn)=a1*A(v1)+...+an*A(vn) za proizvoljan w iz W. Znači da skup A(v1)...A(vn) razapinje W. Po lemi je i linearno neovisan pa je to i baza za W.
Eto, nadam se da je sad preciznije.
| Pitalica (napisa): | Neka je A:V→W lin.operator i neka je dim V=n (konačna).Medjusobno je ekvivalentno:
(1) Aje izomorfizam
(2) Za svaku bazu {b1...bn} od V skup {Ab1,...Abn} je baza za W.
(3) Postoji baza {e1...en} od V t.d. je skup {Ae1...Aen} baza za W.
DOKAZ.
1⇒2
Uzmamo bilo koju bazu {b1...bn} za V, iz neke od prethodnih napomena je {Ab1...Abn} sistem izvodnica za ImA=W. Injektivni operator cuvaju nezavisnost,pa je {Ab1..Abn} nezavisan.
Sve ostalo je jasno. Eto. Hvala puno. |
Dakle, po (1) je A:V→W izomorfizam, znači linearan, injekcija i surjekcija (uočimo da A ima inverz koji je također linearan, ako treba mogu dodati i taj dokaz).
Sada napravimo malu lemu: Neka je A:V→W lin.operator i neka je dim V=n. Tada je skup A(v1)...A(vk) linearno neovisan akko je skup v1...vk linearno neovisan.
⇒
a1*v1+a2*v2+...+ak*vk=0 ⇒ A(a1*v1+a2*v2+...+ak*vk)=0
⇒ a1*A(v1)+...ak*A(vk)=0 a po pretpostavci a1...ak su svi jednaki 0.
⇐
a1*A(v1)+...ak*A(vk)=0 ⇒ A^(-1)(a1*A(v1)+...ak*A(vk))=0, a znamo da je A^(-1) linearan pa je a1*v1+...+ak*vk=0 a po pretpostavci su opet svi a1...ak jednaki 0.
To što je surjekcija znači da za svaki vektor w iz W postoji vektor v iz V t.d. je Av=w. Međutim, svaki vektor v iz V se može na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija v1...vn vektora iz baze za V. Odnosno:
v=a1*v1+...+an*vn ⇒ w=Av=A(a1*v1+...+an*vn)=a1*A(v1)+...+an*A(vn) za proizvoljan w iz W. Znači da skup A(v1)...A(vn) razapinje W. Po lemi je i linearno neovisan pa je to i baza za W.
Eto, nadam se da je sad preciznije.
_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine
|
|
| [Vrh] |
|
pitalica
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
