Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Lagrangeova mehanika (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Matematičko modeliranje
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
jajaja
Gost
PostPostano: 17:48 sub, 24. 6. 2006    Naslov: Lagrangeova mehanika Citirajte i odgovorite
Zadatak glasi:Masa m je objesena na oprugu krutosti k,ciji je drugi kraj ucvrscen.Odredite gibanje mase ako je u pocetnom trenutku masa ispustena iz hvatista opruge.
Rjesenje:
U(x,y,z)=1/2k(x^2+y^2+z^2)-mgx
T(x°,y°,z°)=1/2m(x°^2+y°^2+z°^2)
L(x,y,z,x°,y°,z°)=1/2m(x°^2+y°^2+z°^2)-1/2k(x^2+y^2+z^2)+mgx
Sada je:
dL/dx=-kx+mg
dL/dy=-ky
dL/dz=-kz
dL/dx°=mx°
dL/dy°=my°
dL/dz°=mz°
Lagrangeove jednadzbe:
d/dt(mx°)+kx-mg=0
d/dt(my°)+ky=0
d/dt(mz°)+kz=0
I sada je:
mx°°+kx-mg=0
my°°+ky=0
mz°°+kz=0
sustav ODJ drugog reda.
Kako sad dobiti opce rjesenje homogene i nehomogene jednadzbe?
Uglavnom,rjesenja su:
x(t)=Acoswt+Bsinwt+mg/k
y(t)=Ccoswt+Dsinwt
z(t)=Ecoswt+Fsinwt
(nije mi jasni odakle sin i cos :?: )
Pocetni uvjeti su:
x(0)=0
y(0)=0
z(0)=0
=>poceti polozaj
i
x°(0)=0
y°(0)=0
z°(0)=0
=>pocetna brzina(masa je ISPUSTENA)
Sad mi nije jasno kako iz uvjeta pocetne brzine dobivamo:
wB=0
wD=0
wF=0
Molim neku dobru dusu da mi ovo objasni.
:pray:
Unaprijed hvala!
p.s.Ove ° i °° su tockice iznad x,y,z :) )
Zadatak glasi:Masa m je objesena na oprugu krutosti k,ciji je drugi kraj ucvrscen.Odredite gibanje mase ako je u pocetnom trenutku masa ispustena iz hvatista opruge.
Rjesenje:
U(x,y,z)=1/2k(x^2+y^2+z^2)-mgx
T(x°,y°,z°)=1/2m(x°^2+y°^2+z°^2)
L(x,y,z,x°,y°,z°)=1/2m(x°^2+y°^2+z°^2)-1/2k(x^2+y^2+z^2)+mgx
Sada je:
dL/dx=-kx+mg
dL/dy=-ky
dL/dz=-kz
dL/dx°=mx°
dL/dy°=my°
dL/dz°=mz°
Lagrangeove jednadzbe:
d/dt(mx°)+kx-mg=0
d/dt(my°)+ky=0
d/dt(mz°)+kz=0
I sada je:
mx°°+kx-mg=0
my°°+ky=0
mz°°+kz=0
sustav ODJ drugog reda.
Kako sad dobiti opce rjesenje homogene i nehomogene jednadzbe?
Uglavnom,rjesenja su:
x(t)=Acoswt+Bsinwt+mg/k
y(t)=Ccoswt+Dsinwt
z(t)=Ecoswt+Fsinwt
(nije mi jasni odakle sin i cos Question )
Pocetni uvjeti su:
x(0)=0
y(0)=0
z(0)=0
=>poceti polozaj
i
x°(0)=0
y°(0)=0
z°(0)=0
=>pocetna brzina(masa je ISPUSTENA)
Sad mi nije jasno kako iz uvjeta pocetne brzine dobivamo:
wB=0
wD=0
wF=0
Molim neku dobru dusu da mi ovo objasni.
Pray
Unaprijed hvala!
p.s.Ove ° i °° su tockice iznad x,y,z Smile )


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 19:27 sub, 24. 6. 2006    Naslov: Re: Lagrangeova mehanika Citirajte i odgovorite
[quote="jajaja"]mx°°+kx-mg=0
my°°+ky=0
mz°°+kz=0
sustav ODJ drugog reda.
Kako sad dobiti opce rjesenje homogene i nehomogene jednadzbe?
[/quote]
Riješimo npr. prvu jednadžbu.

[latex]mx''+kx=mg[/latex]

To je nehomogena linearna jednadžba drugog reda. Rješavamo prvo homogenu.

[latex]mx''+kx=0[/latex]

Karakteristična jednadžba:
[latex]m\lambda^2+k=0\quad\Rightarrow\quad\lambda=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}[/latex]

Sad definiramo [latex]\omega:=\sqrt{\frac{k}{m}}[/latex]. Opće rješenje homogene jednadžbe je dano s:
[latex]x_H(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)[/latex]
Ako te baš zanima zašto je to tako, ona prouči gradivo kolegija Obične diferencijalne jednadžbe. Možeš pogledati u skripti M. Alića.

Tražimo partikularno rješenje, i to u obliku
[latex]x_P(t)=C[/latex]
Uvrstimo u jednadžbu i dobijemo
[latex]kC=mg\quad\Rightarrow\quad C=\frac{mg}{k}[/latex]

Dakle, opće rješenje nehomogene jednadžbe je dano s:
[latex]x(t)=x_H(t)+x_P(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{mg}{k}[/latex]

Brojeve A i B pronalazimo uvrštavanjem uvjeta.

[latex]
\begin{array}{rcl}
x(0) &=& A\cos0+B\sin0+\frac{mg}{k}= \\
& =& A+\frac{mg}{k} = \\
&=& 0
\end{array}
[/latex]

Dakle, [latex]A=-\frac{mg}{k}[/latex].

S druge strane, imamo:

[latex]
\begin{array}{rcl}
x'(0) &=& -A\omega\sin0 + B\omega\cos0 = \\
&=& B\omega = \\
&=& 0
\end{array}[/latex]

Zaključujemo da je [latex]B=0[/latex].

Konačno, [latex]x(t)=-\frac{mg}{k}\cos(\omega t)+\frac{mg}{k}[/latex].

Slično se rješavaju i druge dvije jednadžbe.
jajaja (napisa):
mx°°+kx-mg=0
my°°+ky=0
mz°°+kz=0
sustav ODJ drugog reda.
Kako sad dobiti opce rjesenje homogene i nehomogene jednadzbe?

Riješimo npr. prvu jednadžbu.



To je nehomogena linearna jednadžba drugog reda. Rješavamo prvo homogenu.



Karakteristična jednadžba:


Sad definiramo . Opće rješenje homogene jednadžbe je dano s:

Ako te baš zanima zašto je to tako, ona prouči gradivo kolegija Obične diferencijalne jednadžbe. Možeš pogledati u skripti M. Alića.

Tražimo partikularno rješenje, i to u obliku

Uvrstimo u jednadžbu i dobijemo


Dakle, opće rješenje nehomogene jednadžbe je dano s:


Brojeve A i B pronalazimo uvrštavanjem uvjeta.



Dakle, .

S druge strane, imamo:



Zaključujemo da je .

Konačno, .

Slično se rješavaju i druge dvije jednadžbe.



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
jajaja
Gost
PostPostano: 19:34 sub, 24. 6. 2006    Naslov: Lagrangeova mehanika Citirajte i odgovorite
Puno puno hvala!
Puno puno hvala!


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Matematičko modeliranje Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan