TEOREM srednje vrijdnostI?koji i kako glasi??

[Gost]

Ovako, prof. Marušić je na predavanjima napisao kod trapezne formule ovako nešto:
"
integral od a do b (f(x)g(x)dx)==f(theta)* integral od a do b (g(x)dx), s tim da je g>=0 za sve x.
nekuzim ako to vrijedi kako onda za
integral od a do b ((x-a)(x-b))dx je (x-a)(x-b)>=0???
pls help....



"

[Unnamed One]

Radi se o integralnom tm-u srednje vrijednosti s težinama:

Pretpostavke:
- f,g su integrabilne na [a,b]
- m=inf(f(x))
- M=sup(f(x))
- g(x)>=0 za svaki x

Tvrdnja:
Postoji z iz [m,M] t.d. je

Integral od a do b (f(x)g(x)dx) = z * integral od a do b (g(x)dx).

U našem slučaju, zbog neprekidnosti od f slijedi da je z u slici od f pa umjesto z pišemo f(theta).
Na [a,b] je (x-a)(x-b)⇐0 pa svejedno možemo primijeniti teorem, npr. izluči se (-1) ispred integrala pa je g(x)=-(x-a)(x-b)>=0.