| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
duba
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: 
|
 Postano: 12:54 pet, 1. 9. 2006 Naslov: Re: zanimljivi |
    |
|
|
[quote="duba"]
1) Dokažite da je suma djelitelja nepranog prirodnog broja n nepran broj akko je n potpun kvadrat.
[/quote]
Ako je n=p1^(a1)*...*pk^(ak) kanonski rastav broja n na proste faktore, onda je suma djeljitelja od n jednaka produktu zagrada oblika
(1+pi+pi^2+...+pi^(ai)), i=1,...,k.
Taj produkt ce biti neparan akko su sve ove zagrade neparne. Po pretpostavci je pi neparan, pa su svi pribrojnici u zagradama neparni. Zbroj tih pribrojnika je neparan akko je broj pribrojnika (a to je ai+1) neparan. Dakle, produkt zagrada je neparan akko su svi ai parni, tj. akko je n potpun kvadrat.
| duba (napisa): |
1) Dokažite da je suma djelitelja nepranog prirodnog broja n nepran broj akko je n potpun kvadrat.
|
Ako je n=p1^(a1)*...*pk^(ak) kanonski rastav broja n na proste faktore, onda je suma djeljitelja od n jednaka produktu zagrada oblika
(1+pi+pi^2+...+pi^(ai)), i=1,...,k.
Taj produkt ce biti neparan akko su sve ove zagrade neparne. Po pretpostavci je pi neparan, pa su svi pribrojnici u zagradama neparni. Zbroj tih pribrojnika je neparan akko je broj pribrojnika (a to je ai+1) neparan. Dakle, produkt zagrada je neparan akko su svi ai parni, tj. akko je n potpun kvadrat.
|
|
| [Vrh] |
|
vinko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00)
Postovi: (1A8)16
Spol:
Lokacija: PMF-MO 214
|
| Postano: 15:54 čet, 28. 9. 2006 Naslov: Re: zanimljivi |
|
|
|
Pozdrav! Ovo mi je prvi odgovor na ovom forumu pa molim za razumijevanje.
[quote="duba"]2) Odredite broj svih djelitelja i množak svih djelitelja broja 1980^n gdje je n€N.[/quote]
Ako je m=p1^(a1)*...*pk^(ak) kanonski rastav broja m na proste faktore, onda je broj njegovih djelitelja jednak
(1+a1)*(1+a2)*...*(1+ak)
Kako je 1980^n=(2^2*3^2*5^1*11^1)^n=2^(2n)*3^(2n)*5^n*11^n, broj djelitelja mu je (2n+1)^2*(n+1)^2
Promotrimo umnozak djelitelja broja m. Red faktora p1 je (1+2+3+...+a1) * (1+a2)*(1+a3)*...*(1+ak),
pa je umnozak djelitelja broja 1980^n jednak (2*3)^(n*(2n+1) * (2n+1)*(n+1)^2) * (5*11)^(n*(n+1)/2 * (2n+1)^2*(n+1))
P.S.
Opcenito, umnozak djelitelja broja m bi mogli promatrati i kao umnozak brojeva m/d (gdje je d djelitelj). Na taj nacin dobijemo formulu da je umnozak_djelitelja=m^(broj_djelitelja)/umnozak_djelitelja, tj.
umnozak djelitelja broja m = m ^ (broj_djelitelja/2)
Pozdrav! Ovo mi je prvi odgovor na ovom forumu pa molim za razumijevanje.
| duba (napisa): | | 2) Odredite broj svih djelitelja i množak svih djelitelja broja 1980^n gdje je n€N. |
Ako je m=p1^(a1)*...*pk^(ak) kanonski rastav broja m na proste faktore, onda je broj njegovih djelitelja jednak
(1+a1)*(1+a2)*...*(1+ak)
Kako je 1980^n=(2^2*3^2*5^1*11^1)^n=2^(2n)*3^(2n)*5^n*11^n, broj djelitelja mu je (2n+1)^2*(n+1)^2
Promotrimo umnozak djelitelja broja m. Red faktora p1 je (1+2+3+...+a1) * (1+a2)*(1+a3)*...*(1+ak),
pa je umnozak djelitelja broja 1980^n jednak (2*3)^(n*(2n+1) * (2n+1)*(n+1)^2) * (5*11)^(n*(n+1)/2 * (2n+1)^2*(n+1))
P.S.
Opcenito, umnozak djelitelja broja m bi mogli promatrati i kao umnozak brojeva m/d (gdje je d djelitelj). Na taj nacin dobijemo formulu da je umnozak_djelitelja=m^(broj_djelitelja)/umnozak_djelitelja, tj.
umnozak djelitelja broja m = m ^ (broj_djelitelja/2)
|
|
| [Vrh] |
|
|
