Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadatak s roka 4.9.2006. (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Vjerojatnost
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 22:15 pon, 4. 9. 2006    Naslov: Zadatak s roka 4.9.2006. Citirajte i odgovorite
[b]Zadatak 1.[/b] Neka su X i Y nezavisne diskretne slučajne varijable s vrijednostima u skupu prirodnih brojeva, pri čemu je vjerojatnost da [latex]P(X=n)=P(Y=n)=2^{-n},\ n\in\mathbb{N}[/latex]. Odredite vjerojatnost [latex]P(X\ \textrm{dijeli}\ Y)[/latex].

I sad ja krenem ovako:

[latex]A:=\{X\ \textrm{dijeli}\ Y\}[/latex]
[latex]H_i:=\{X=i\},\ i\in\mathbb{N}[/latex] je potpun sistem događaja.

[latex]
\begin{array}{rcl}
P(A) & = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty P(H_i)P(A|H_i) = \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}P(Y\in\{i, 2i, 3i, \ldots\}) = \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\sum_{j=1}^\infty 2^{-ij} = \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}\frac{2^{-i}}{1-2^{-i}} = \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i(2^i-1)} = \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^\infty\left(\frac{1}{2^i-1}-\frac{1}{2^i}\right)
\end{array}[/latex]

I sad me muči što dalje, kako pronaći sumu tog reda. Probao sam razne dosjetke koje su mi pale na pamet, ali ništa nije urodilo plodom. Uspio sam numerički odrediti da je suma oko 0.6066951524.

Čini mi se da je sve ok, jedino ne znam naći sumu reda.

Ima tko ideju?
Zadatak 1. Neka su X i Y nezavisne diskretne slučajne varijable s vrijednostima u skupu prirodnih brojeva, pri čemu je vjerojatnost da . Odredite vjerojatnost .

I sad ja krenem ovako:


je potpun sistem događaja.



I sad me muči što dalje, kako pronaći sumu tog reda. Probao sam razne dosjetke koje su mi pale na pamet, ali ništa nije urodilo plodom. Uspio sam numerički odrediti da je suma oko 0.6066951524.

Čini mi se da je sve ok, jedino ne znam naći sumu reda.

Ima tko ideju?



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Smith
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 10. 2004. (23:30:23)
Postovi: (178)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
12 = 18 - 6
Lokacija: {Tamo Gore}^{TM}
PostPostano: 0:37 uto, 5. 9. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Probao sam, ali... Ma kak'i.

Konzultirao sam bas Vekyja i kaze kako "sumnja da ima zatvorenu formu".

Buduci mu je intuicija negdje k'o Ramanujanova... :)

Inace, spominje nekakav Gosper-Zeilbergerov algoritam (analogon Rischevog algoritma za sume ((meni spansko selo i jedno i drugo :oops: :D))).

Malo sam proguglao i nasao [url=http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/images/hyper.gif]ovo[/url] - mozda ces zeljeti potraziti to u knjiznici. 8)

Happy hunting! :wink:
Probao sam, ali... Ma kak'i.

Konzultirao sam bas Vekyja i kaze kako "sumnja da ima zatvorenu formu".

Buduci mu je intuicija negdje k'o Ramanujanova... Smile

Inace, spominje nekakav Gosper-Zeilbergerov algoritam (analogon Rischevog algoritma za sume ((meni spansko selo i jedno i drugo Embarassed Very Happy))).

Malo sam proguglao i nasao ovo - mozda ces zeljeti potraziti to u knjiznici. Cool

Happy hunting! Wink



_________________
We only have one candle
To burn down to the handle...
- Sonata Arctica, Weballergy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
M.
Gost
PostPostano: 9:14 uto, 5. 9. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Tu sumu sam i ja dobila, ali na drugi nacin, i takodjer nisam imala pojma sto i kako s njom..

ja sam isla (koliko se sjecam) ovako:

P(X dijeli Y) = P(unija_po_m€N(Y=m.X)) = (disj unija) = suma_po_m€N P (Y=m*X) = suma_po_m€N P(Y=m*X, omega) = suma_po_m€N P(Y=m*X, unija_po_k€N (X=k)) =(disj unija).. itd i ugl dobije se ista suma..

Hipergeometrijska sumacija? Hm..
Tu sumu sam i ja dobila, ali na drugi nacin, i takodjer nisam imala pojma sto i kako s njom..

ja sam isla (koliko se sjecam) ovako:

P(X dijeli Y) = P(unija_po_m€N(Y=m.X)) = (disj unija) = suma_po_m€N P (Y=m*X) = suma_po_m€N P(Y=m*X, omega) = suma_po_m€N P(Y=m*X, unija_po_k€N (X=k)) =(disj unija).. itd i ugl dobije se ista suma..

Hipergeometrijska sumacija? Hm..


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 9:33 uto, 5. 9. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
M, to je u principu isti način, samo što si ti izveo/la formulu potpune vjerojatnosti rješavajući ga, a ja sam je odmah primijenio.

Baš lijep zadatak, nema šta. :)
M, to je u principu isti način, samo što si ti izveo/la formulu potpune vjerojatnosti rješavajući ga, a ja sam je odmah primijenio.

Baš lijep zadatak, nema šta. Smile



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Gost
PostPostano: 12:08 uto, 5. 9. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
meni npr. taj zadatak upće nije jasan čak i sad kad imam rješenje pred sobom :oops:

zašto je Hi potpun sistem događaja?
zašto je P(A|Hi)=P(Y=i,2i,3i...)?

aj budite ljubazni pa podijelite tu pamet sa običnim smrtnicima :)
meni npr. taj zadatak upće nije jasan čak i sad kad imam rješenje pred sobom Embarassed

zašto je Hi potpun sistem događaja?
zašto je P(A|Hi)=P(Y=i,2i,3i...)?

aj budite ljubazni pa podijelite tu pamet sa običnim smrtnicima Smile


[Vrh]
Melkor
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 07. 10. 2004. (18:48:00)
Postovi: (291)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
140 = 152 - 12
Lokacija: Void
PostPostano: 19:55 uto, 5. 9. 2006    Naslov: Citirajte i odgovorite
Zašto je [latex](H_i)[/latex] potpun sistem događaja? Vrijedi sljedeće:
[list]
[*][latex]i\neq j\ \Rightarrow\ H_i\cap H_j=\emptyset[/latex]
Naime, ne može u isto vrijeme biti X=i i X=j ako su i i j različiti. Događaji su disjunktni.

[*][latex]\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty H_i = \bigcup_{i=1}^\infty\{\omega\in\Omega\colon X(\omega)=i\} = \Omega[/latex]
Ovo je valjda jasno. Skup svih elementarnih događaja za koje X poprimi sve prirodne brojeve je naprosto cijeli prostor elementarnih događaja.
[/list:u]
To da X dijeli Y znači da je Y višekratnik od X. X dijeli Y uz uvjet da je X=i znači da je Y višekratnik od i. I otud
[latex]P(A|H_i)=P(Y\in\{i,2i,3i,\ldots\})[/latex].
Zašto je potpun sistem događaja? Vrijedi sljedeće:


  • Naime, ne može u isto vrijeme biti X=i i X=j ako su i i j različiti. Događaji su disjunktni.


  • Ovo je valjda jasno. Skup svih elementarnih događaja za koje X poprimi sve prirodne brojeve je naprosto cijeli prostor elementarnih događaja.

To da X dijeli Y znači da je Y višekratnik od X. X dijeli Y uz uvjet da je X=i znači da je Y višekratnik od i. I otud
.



_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 2. godine -> Vjerojatnost Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan