Dakle, teorem glasi ovako: rezolventa je analitička funkcija na rezolventnom skupu i za [latex]A\in L(V)[/latex], [latex]\lambda_0 \in \rho(A)[/latex] i [latex]r=\min\{|\lambda_0 - \lambda'|\colon \lambda'\in\sigma(A)\}[/latex] je
[latex]\displaystyle R_{\lambda}(A)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k R_{\lambda_0}(A)^{k+1}(\lambda-\lambda_0)^k,~\forall\lambda\in K(\lambda_0,r)[/latex]
Imam problem u dijelu dokaza gdje se pokazuje da je [latex]R_\lambda (A)[/latex] jednak gore spomenutom redu. Prvo se dokaže da taj red konvergira i onda se dokazuje da je [latex](\lambda I - A)S(\lambda)=I[/latex], gdje je [latex]S(\lambda)=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k R_{\lambda_0}(A)^{k+1}(\lambda-\lambda_0)^k[/latex] i to tako da se napiše [latex]S(\lambda)=\lim_{m->\infty}S_m(\lambda)[/latex] gdje su [latex]S_m(\lambda)[/latex] parcijalne sume za red [latex]S(\lambda)[/latex].
Nakon malo namještanja dođe se do toga da je
[latex](\lambda I - A)S(\lambda)=I+\lim_{m\to\infty}\left( (\lambda-\lambda_0)(-1)^m R_{\lambda_0}(A)^{m+1}(\lambda-\lambda_0)^m\right)[/latex]
i onda kaže da [latex](-1)^m R_{\lambda_0}(A)^{m+1}(\lambda-\lambda_0)^m[/latex] ide u 0 kada m ide u beskonačno. Zašto to vrijedi?
Dakle, teorem glasi ovako: rezolventa je analitička funkcija na rezolventnom skupu i za
,
i
je
Imam problem u dijelu dokaza gdje se pokazuje da je
jednak gore spomenutom redu. Prvo se dokaže da taj red konvergira i onda se dokazuje da je
, gdje je
i to tako da se napiše
gdje su
parcijalne sume za red
.
Nakon malo namještanja dođe se do toga da je
i onda kaže da
ide u 0 kada m ide u beskonačno. Zašto to vrijedi?
_________________
The Dude Abides