| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
 Postano: 18:40 čet, 16. 11. 2006 Naslov: Grupa automorfizama i još neka pitanja |
    |
|
|
Ako se nađe netko dobre volje molio bih pojašnjenja za sljedeće zadatke :
1. Odrediti cemu je izomorfna grupa :
Aut(Z_2 x Z_2), Aut(Aut(Z_8)), Aut(Z_12), Aut(Z_23), Aut(Z_94).
Ovdje naravno ne ocekujem rješenje za sve grupe, vec samo primjer da vidim što opcenito znaci odrediti grupu automorfizama.
2. Je li grupa Zp^\inf = {z e C : z^(p^n)=1 za neko n e N} ciklicka?
Ako se nađe netko dobre volje molio bih pojašnjenja za sljedeće zadatke :
1. Odrediti cemu je izomorfna grupa :
Aut(Z_2 x Z_2), Aut(Aut(Z_8)), Aut(Z_12), Aut(Z_23), Aut(Z_94).
Ovdje naravno ne ocekujem rješenje za sve grupe, vec samo primjer da vidim što opcenito znaci odrediti grupu automorfizama.
2. Je li grupa Zp^\inf = {z e C : z^(p^n)=1 za neko n e N} ciklicka?
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 19:15 čet, 16. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
2. ne grupa nije ciklicka. Jedan od nacina da se to vidi je da provjeris da je grupa beskonacn, a svaki element je konacnog reda. Naravno, to treba jos malo raspisati i obje te tvrdnje treba dokazati.
1. imas detaljno raspisano za nekoliko tih grupa u proslogodisnjim vjezbama. Ukratko se vidi da ako je grupa ciklicka, onda generator mora ici u generator i time je automorfizam odreden, pa je grupa automorfizama kao skup jednaka skupu generatora. Onda jos treba naci koja je operacija i kojoj grupi je to izomorfno. Imas detaljno u vjezbama.
2. ne grupa nije ciklicka. Jedan od nacina da se to vidi je da provjeris da je grupa beskonacn, a svaki element je konacnog reda. Naravno, to treba jos malo raspisati i obje te tvrdnje treba dokazati.
1. imas detaljno raspisano za nekoliko tih grupa u proslogodisnjim vjezbama. Ukratko se vidi da ako je grupa ciklicka, onda generator mora ici u generator i time je automorfizam odreden, pa je grupa automorfizama kao skup jednaka skupu generatora. Onda jos treba naci koja je operacija i kojoj grupi je to izomorfno. Imas detaljno u vjezbama.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
| Postano: 13:32 čet, 23. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
Čisto da ne zatrpavam forum novim temama postam ove zadatke ovdje.
Neka je G grupa reda 2p, p prost i ima normalnu podgrupu N reda 2. Tada je G komutativna.
Prije dvije godine, kada sam slušao vježbe, je bio riješen jedan sličan zadatak na sljedeći način : Sylovljevi teoremi daju postojanje jedinstvene normalne podgrupe H reda p. Lako se vidi N presjek H={e}. Bso p!=2 (jedine grupe reda 4 su Z_4 i Z_2+Z_2 i obje su komutativne). Dakle NxH ~ Z_2p je abelova. Sada definiramo f:NxH->G sa f(a,b):=ab. Lako se vidi da je f injekcija, a kako je to funkcija između jednakobrojnih konačnih skupova bijekcija je. Jedino što preostaje je pokazati da je f homomorfizam. Kako to učiniti (pomoću komutativnosti od N i H?).
Takoder jedan sličan zadatak : Svaka grupa G reda 323=17*19 je abelova.
Tu bismo postupili analogno kao i gore, uz pretpostavku da možemo dokazati homomorfnost od f. Međutim, mogli smo na to gledati i ovako :
Lako se vidi da postoje jedinstvene normalne podgrupe H i K reda 17 i 19.
Mogući redovi podgrupa : 1,17,19,323.
Centar od G ( Z(G) )je normalna podgrupa od G. Dakle ona je reda 323, 17, 19 ili 1. Prva tri slučaja lako daju da je G abelova. kako sada vidjeti da je slučaj |Z(G)|=1 nemoguc (ako to uopce vrijedi).
Takoder, vrijedi li da činjenica da su sve podgrupe od G normalne povlači da je G abelova? Kako to vidjeti?
Zahvaljujem.
Čisto da ne zatrpavam forum novim temama postam ove zadatke ovdje.
Neka je G grupa reda 2p, p prost i ima normalnu podgrupu N reda 2. Tada je G komutativna.
Prije dvije godine, kada sam slušao vježbe, je bio riješen jedan sličan zadatak na sljedeći način : Sylovljevi teoremi daju postojanje jedinstvene normalne podgrupe H reda p. Lako se vidi N presjek H={e}. Bso p!=2 (jedine grupe reda 4 su Z_4 i Z_2+Z_2 i obje su komutativne). Dakle NxH ~ Z_2p je abelova. Sada definiramo f:NxH->G sa f(a,b):=ab. Lako se vidi da je f injekcija, a kako je to funkcija između jednakobrojnih konačnih skupova bijekcija je. Jedino što preostaje je pokazati da je f homomorfizam. Kako to učiniti (pomoću komutativnosti od N i H?).
Takoder jedan sličan zadatak : Svaka grupa G reda 323=17*19 je abelova.
Tu bismo postupili analogno kao i gore, uz pretpostavku da možemo dokazati homomorfnost od f. Međutim, mogli smo na to gledati i ovako :
Lako se vidi da postoje jedinstvene normalne podgrupe H i K reda 17 i 19.
Mogući redovi podgrupa : 1,17,19,323.
Centar od G ( Z(G) )je normalna podgrupa od G. Dakle ona je reda 323, 17, 19 ili 1. Prva tri slučaja lako daju da je G abelova. kako sada vidjeti da je slučaj |Z(G)|=1 nemoguc (ako to uopce vrijedi).
Takoder, vrijedi li da činjenica da su sve podgrupe od G normalne povlači da je G abelova? Kako to vidjeti?
Zahvaljujem.
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
| Postano: 18:24 čet, 23. 11. 2006 Naslov: |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]Čisto da ne zatrpavam forum novim temama postam ove zadatke ovdje.
[/quote]
Sto je za svaku pohvalu.
[quote="Boris Davidovič"]
Neka je G grupa reda 2p, p prost i ima normalnu podgrupu N reda 2. Tada je G komutativna.
Takoder jedan sličan zadatak : Svaka grupa G reda 323=17*19 je abelova.
[/quote]
Ova dva zadatka su prakticki ista. Podgrupa indeksa 2 je uvijek normalna, pa u oba slucaja imas 2 normalne podgrupe (reda 2 i p u prvom slucaju, 17 i 19 u drugom, p i q opcenito) u grupi reda pq. U oba tvoja rjesenja koja si naveo, jasno je ovo: te grupe su normalne, i obje su ciklicke (red im je prost broj, pa nemaju sta drugo biti). Ono sto treba dokazati (to dokazujes u prvom slucaju da bi pokazao da je homomorfizam, u drugom da bi pokazao da je Z(G) netrivijalan, a u biti je, ako dokazes to, to cijeli dokaz- ne moras niti pokazivati ovo sto si ti napisao gore) je da elementi jedne te ciklicke, normalne podgrupe (npr N, reda p) i druge (npr H, reda q, i bsomp q>p) medusobno komutiraju.
To pokazes ovako. Za svaki h iz H je preslikavanje koje uzima element n iz N i prebacuje ga u hnh^(-1) automorfizam N (treba ti normalnost N da bi pokazao da je to fja s N u N, homomorfizam se lako pokaze, injektivnost isto, a surjektivnost zatim slijedi iz konacnosti N). Nadalje, pogledas malo kako se ti homomorfizmi komponiraju (kad uzimas razne elemente iz H), i dobijes da je preslikavanje koje h iz H prodruzuje ovaj automorfizam (n ide u hnh^-1) zapravo homomorfizam sa H u grupu AutN.
E sad, grupa H ima q elemenata, a grupa AutN p-1. Jezgra tog homomorfizma nije prazna (jer je q>p>p-1), a red jezgre dijeli red grupe H (jer je podgrupa). Dakle, jezgra mora biti cijela H, i ovim homomorfizmom se svaki element grupe H preslika u identitetu u AutN, tj hnh^-1=n za sve h iz H i za sve n iz N.
[quote="Boris Davidovič"]
Takoder, vrijedi li da činjenica da su sve podgrupe od G normalne povlači da je G abelova? Kako to vidjeti?
[/quote]
Zapravo nisam sigurna. Trebalo bi prvo vidjeti da li ovaj dokaz gore prolazi za slucaj kad imamo 3 normalne podgrupe, onda pogledati sto ako redovi tih podgrupa nisu prosti (u tom slucaju dobivamo jos manjih porgrupa unutra, koje isto ako moraju biti normalne)... Ne znam. Raspisi sto mislis, mozda skuzimo :)
[quote="Boris Davidovič"]Zahvaljujem.[/quote]
Zamoljujem.
| Boris Davidovič (napisa): | Čisto da ne zatrpavam forum novim temama postam ove zadatke ovdje.
|
Sto je za svaku pohvalu.
| Boris Davidovič (napisa): |
Neka je G grupa reda 2p, p prost i ima normalnu podgrupu N reda 2. Tada je G komutativna.
Takoder jedan sličan zadatak : Svaka grupa G reda 323=17*19 je abelova.
|
Ova dva zadatka su prakticki ista. Podgrupa indeksa 2 je uvijek normalna, pa u oba slucaja imas 2 normalne podgrupe (reda 2 i p u prvom slucaju, 17 i 19 u drugom, p i q opcenito) u grupi reda pq. U oba tvoja rjesenja koja si naveo, jasno je ovo: te grupe su normalne, i obje su ciklicke (red im je prost broj, pa nemaju sta drugo biti). Ono sto treba dokazati (to dokazujes u prvom slucaju da bi pokazao da je homomorfizam, u drugom da bi pokazao da je Z(G) netrivijalan, a u biti je, ako dokazes to, to cijeli dokaz- ne moras niti pokazivati ovo sto si ti napisao gore) je da elementi jedne te ciklicke, normalne podgrupe (npr N, reda p) i druge (npr H, reda q, i bsomp q>p) medusobno komutiraju.
To pokazes ovako. Za svaki h iz H je preslikavanje koje uzima element n iz N i prebacuje ga u hnh^(-1) automorfizam N (treba ti normalnost N da bi pokazao da je to fja s N u N, homomorfizam se lako pokaze, injektivnost isto, a surjektivnost zatim slijedi iz konacnosti N). Nadalje, pogledas malo kako se ti homomorfizmi komponiraju (kad uzimas razne elemente iz H), i dobijes da je preslikavanje koje h iz H prodruzuje ovaj automorfizam (n ide u hnh^-1) zapravo homomorfizam sa H u grupu AutN.
E sad, grupa H ima q elemenata, a grupa AutN p-1. Jezgra tog homomorfizma nije prazna (jer je q>p>p-1), a red jezgre dijeli red grupe H (jer je podgrupa). Dakle, jezgra mora biti cijela H, i ovim homomorfizmom se svaki element grupe H preslika u identitetu u AutN, tj hnh^-1=n za sve h iz H i za sve n iz N.
| Boris Davidovič (napisa): |
Takoder, vrijedi li da činjenica da su sve podgrupe od G normalne povlači da je G abelova? Kako to vidjeti?
|
Zapravo nisam sigurna. Trebalo bi prvo vidjeti da li ovaj dokaz gore prolazi za slucaj kad imamo 3 normalne podgrupe, onda pogledati sto ako redovi tih podgrupa nisu prosti (u tom slucaju dobivamo jos manjih porgrupa unutra, koje isto ako moraju biti normalne)... Ne znam. Raspisi sto mislis, mozda skuzimo 
| Boris Davidovič (napisa): | | Zahvaljujem. |
Zamoljujem.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
|
| [Vrh] |
|
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
Martinab
Moderator
Pridružen/a: 02. 04. 2003. (19:07:56)
Postovi: (2A03E)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 2:01 pet, 1. 12. 2006 Naslov: |
|
|
|
U vezi s pitanjem mora li grupa biti abelova ako su joj sve podgrupe normalne, iz Wikipedije:
In group theory, a Dedekind group is a group G such that every subgroup of G is normal. All abelian groups are Dedekind groups. A non-abelian Dedekind group is called a Hamiltonian group, after William Rowan Hamilton.
The most familiar (and smallest) example of a Hamiltonian group is the quaternion group of order 8, denoted by Q8. It can be shown that every Hamiltonian group is a direct product of the form G = Q8 × B × D, where B is the direct sum of some number of copies of the cyclic group C2, and D is a periodic abelian group with all elements of odd order
U vezi s pitanjem mora li grupa biti abelova ako su joj sve podgrupe normalne, iz Wikipedije:
In group theory, a Dedekind group is a group G such that every subgroup of G is normal. All abelian groups are Dedekind groups. A non-abelian Dedekind group is called a Hamiltonian group, after William Rowan Hamilton.
The most familiar (and smallest) example of a Hamiltonian group is the quaternion group of order 8, denoted by Q8. It can be shown that every Hamiltonian group is a direct product of the form G = Q8 × B × D, where B is the direct sum of some number of copies of the cyclic group C2, and D is a periodic abelian group with all elements of odd order
|
|
| [Vrh] |
|
|
