Pretpostavljam da misliš na grupe definirane generatorima i relacijama, kojih je D_n jedan primjer. Za to ti je najbolje pogledati to poglavlje u Hungerfordu. Kao prvo trebaš znati što je to slobodna grupa riječi (ne miješati sa slobodnom Abelovom grupom).
Ukratko, ako imamo skup X i Y podskup skupa reduciranih riječi nad X, reći ćemo da je grupa G definirana generatorima X i relacijama w=e, za w iz Y, ukoliko vrijedi da je G izomorfno sa F/N, gdje je F grupa riječi nad X, a N normalna podgrupa od F generirana s Y (tj. presjek svih normalnih podgrupa od F koje sadrže Y).
Sada za D_n imaš generatore a,b i relacije a^n=e, b^2=e i aba^(-1)b=e (za ovo zadnje nisam siguran, no znaš valjda na koju relaciju mislim). Sada trebaš pokazati da je D_n izomorfno grupi riječi F({a,b}) pocijepanoj po najmanjoj normalnoj podgrupi N koja sadrži a^n,b^2 i aba^(-1)b. Za to se koristi univerzalno svojstvo slobodnih grupa (ovdje od F({a,b})), koje veli da se svako preslikavanje sa {a,b} u neku grupu G može proširiti do homomorfizma sa F na G (zapravo i nešto općenitije, no to nije bitno). Sada definiraš f:{a,b}->D_n sa f(a)=A, f(b)=B, gdje su A,B generatori od D_n. Jasno je da je to proširenje epimorfizam. Još ti je jedino preostalo vidjeti da F/N ima manje od 2n elemenata, no to nam forsiraju relacije koje definiraju N, jer i u F/N vrijedi g(a)^n=e, itd, gdje je g:F->F/N kanonski epimorfizam. E da, još vidiš i da su sve definirajuće relacije u jezgri, pa je to i N, jer su elementi iz N njihove kombinacije.
Pretpostavljam da misliš na grupe definirane generatorima i relacijama, kojih je D_n jedan primjer. Za to ti je najbolje pogledati to poglavlje u Hungerfordu. Kao prvo trebaš znati što je to slobodna grupa riječi (ne miješati sa slobodnom Abelovom grupom).
Ukratko, ako imamo skup X i Y podskup skupa reduciranih riječi nad X, reći ćemo da je grupa G definirana generatorima X i relacijama w=e, za w iz Y, ukoliko vrijedi da je G izomorfno sa F/N, gdje je F grupa riječi nad X, a N normalna podgrupa od F generirana s Y (tj. presjek svih normalnih podgrupa od F koje sadrže Y).
Sada za D_n imaš generatore a,b i relacije a^n=e, b^2=e i aba^(-1)b=e (za ovo zadnje nisam siguran, no znaš valjda na koju relaciju mislim). Sada trebaš pokazati da je D_n izomorfno grupi riječi F({a,b}) pocijepanoj po najmanjoj normalnoj podgrupi N koja sadrži a^n,b^2 i aba^(-1)b. Za to se koristi univerzalno svojstvo slobodnih grupa (ovdje od F({a,b})), koje veli da se svako preslikavanje sa {a,b} u neku grupu G može proširiti do homomorfizma sa F na G (zapravo i nešto općenitije, no to nije bitno). Sada definiraš f:{a,b}->D_n sa f(a)=A, f(b)=B, gdje su A,B generatori od D_n. Jasno je da je to proširenje epimorfizam. Još ti je jedino preostalo vidjeti da F/N ima manje od 2n elemenata, no to nam forsiraju relacije koje definiraju N, jer i u F/N vrijedi g(a)^n=e, itd, gdje je g:F->F/N kanonski epimorfizam. E da, još vidiš i da su sve definirajuće relacije u jezgri, pa je to i N, jer su elementi iz N njihove kombinacije.
|