pitanja u vezi predavanja

[MB]

moze li mi netko napisati kako dokazati ovo:
ako je A lin. op. i A=A_1+A_2 (suma je direktna), onda je mi_A=mi_A_1 * mi_A_2, gdje je mi_A minimalni polinom op. A.

to mi treba da bih dokazao da je indeksa p_i, kratnost lambde_i u minimalnom polinomu.. ako netko zna drukcije, moze i to!

druga stvar je da me zbunjuje redoslijed izlaganja predavanja o funkcijama operatora.
pomuca rastava na korijene potprostore definiramo funkciju operatora. na taj nacin izbjegavamo probleme koji su navedeni u vjezbama pod napomenama (u vjezbama se funkcija op. definira preko jordanove forme, pa je potrebno pokazati da definicija ne ovisi o izboru J. baze).
gdje tu sad dolazi cinjenica da za dopustivu funkciju mozemo A uvrstiti u taylorov red i da ce tim redom biti definiran operator? je li to samo nekakav zanimljiv rezultat ili motivacija?

na predavanju smo dokazivali da za dopustivu fju postoji jedinstven polinom stupnaj manjeg od stupnja minimalnog (od A) takav da je f(A)=p(A). gdje nam to kasnije trebalo? opet, u vjezbama je to ono sto nam je opravdalo definiciju, a ovdje ne vidim za sto nam treba..
sto sam krivo shvatio?

_________________

[MB]

hvala svima kojisu odgovorili... u medjuvremenu sam nasao odgovore, pa ako nekog zanima:

tvrdnja za minimalne polinome ne vrijedi opcenito- opcenito vrijedi da je minimalni polinom od A najmanji zajednicki visekratnik minimalnih polinoma od A_1 i A_2. dokaz ide lagano kad se gleda kako operator p(A) djeluje na neki vektor (iz V_1, V_2, V opcenito), gdje je p proizvoljan polinom.

u konkretnom slucaju tvrdnja vrijedi jer je A-lambda*I nilpotentan, a onaj drugi operator regularan, pa su relativno prosti i njihov najmanji zajednicki visekratik je njihov produkt.

sto se tice funkcija operatora, Taylorov red u koji uvrstimo matricu ce konvergirati ako krenemo od cijele funkcije (analiticke na nekom krugu), no funkcije operatora mozemo definirati i za manje lijepe fukcije (koje zovemo dopustivim), a koje su holomorfne na nekoj okolini spekrtra. tad mozemo definirati preko Jordanove forme ili rastava na korijene potprostore.

sto se tice onog polinoma, lijepo je znati da da sve operatore koje mozemo dobiti kao funkcije operatora mozemo dobiti i kao polinome operatora stupnja ne veceg od stupnja minimalnog polinoma.

eto, mozda kome koristi, mene je to najvise bunilo, pa nek stoji za druge (u Alenovom stilu ) ili mozda admin odluci i ovo pobrisat ko olipijadu 2007.

_________________