|
Jedan način je preko linearnih operatora. Tvrdnja se prevodi na to da
rang kompozicije dvaju operatora nije veći od ranga prvog, dakle
r (g o f) <= r(f). To je jasno, jer g(f(V)) ne može imati dimenziju veću od samog f(V). ( npr. primjena teorema o rangu i defektu na operator
dobiven restrikcijom g na potprostor f(V)).
Drugi način, samo pomoću matrica. Uzmimo najprije da je A kanonska matrica ranga r. Umnožak AB je matrica čijih su prvih r redaka upravo prvih r redaka od B, a daljnji (ako ih ima) su nul-retci pa rang te matrice nije veći od ranga B.
Sad, ako je A bilo koja matrica, ona se može (elementarne transformacije) prikazati u obliku A = R K S, pri čemu je K kanonska, a R i S su regularne. Množenje regularnom matricom ne mijenja rang (jer je ekvivalentno izvođenju elementarnih transformacija na matrici).
Zato AB = RKSB ima jednaki rang kao KSB, SB ima jednaki rang kao B, a KSB (prema prvom lsučaju) nema veći rang od SB.
Jedan način je preko linearnih operatora. Tvrdnja se prevodi na to da
rang kompozicije dvaju operatora nije veći od ranga prvog, dakle
r (g o f) <= r(f). To je jasno, jer g(f(V)) ne može imati dimenziju veću od samog f(V). ( npr. primjena teorema o rangu i defektu na operator
dobiven restrikcijom g na potprostor f(V)).
Drugi način, samo pomoću matrica. Uzmimo najprije da je A kanonska matrica ranga r. Umnožak AB je matrica čijih su prvih r redaka upravo prvih r redaka od B, a daljnji (ako ih ima) su nul-retci pa rang te matrice nije veći od ranga B.
Sad, ako je A bilo koja matrica, ona se može (elementarne transformacije) prikazati u obliku A = R K S, pri čemu je K kanonska, a R i S su regularne. Množenje regularnom matricom ne mijenja rang (jer je ekvivalentno izvođenju elementarnih transformacija na matrici).
Zato AB = RKSB ima jednaki rang kao KSB, SB ima jednaki rang kao B, a KSB (prema prvom lsučaju) nema veći rang od SB.
|
