pomoc oko rjesavanja rokova

[roky]

moze li netko rijesiti zadatke s prijasnjih rokova

rok 27.9.2006.
Ako su C1;C2 u Rn konveksni konusi, doka·zite da vrijedi
C1 + C2 = conv(C1 U C2).

rok 29.11.2006.
Dokazite da za sve A u Rm, B u Rn vrijedi C(A x B ) (podskup) C(A)xC(B). Pritom C(S) oznacava najmanji konveksan konus koji sadrzi skup S, a ´x´ kartezijev produkt. Primjerom pokazite da obratna inkluzija ne vrijedi.

[Lea]

Ovaj prvi ide ovako:
Prvo uzmeš neki x=a1 + a2 iz C1 + C2, A1 iz C1, a2 iz C2. C1 i C2 su konusi pa je 2*a1 iz C1, 2*a2 iz C2. To povlači 2*a1, 2*a2 iz C1 U C2. => 1/2 * ( 2*a1 + 2*a2) = x iz conv (C1 U C2). Dakle, dokazano je C1 + C2 podskup conv (C1 U C2).

C1, C2 su konusi. => 0 je element C1, C2 => C1,C2 podskup C1 + C2. => C1 U C2 podskup C1 + C2 ( jer je C1 U C2 konveksan). Dakle, conv (C1 U C2) podskup C1 + C2.

_________________
Lea

[annna]

Drugi...

Uzmemo neki x iz C(AxB). On je onda oblika x=(suma i=1 do k)ti*xi za neke ti>=0 i xi iz AxB, odnosno xi=(ai,bi) za ai iz A, bi iz B. Tada je x=( (suma i=1 do k) ti*ai, (suma i=1 do k)ti*bi ) gdje su (suma i=1 do k)ti*ai iz C(A), odnosno (suma i=1 do k)ti*bi iz C(B). Dakle, x je iz C(A)xC(B).

Obratna inkluzija ne vrijedi, primjer:
m=n=1, A=B={1}.
Tada je C(A)=C(B)=R0+ (nenegativni realni brojevi), odnosno C(A)xC(B)=R0+ * R0+ (kartezijev produkt)
AxB={(1,1)}, pa je C(AxB)={(t,t):t>=0}.

p.s. Ispricavam se zbog ovakve notacije...

[roky]

puno vam hvala cure!

[Lea]

Samo da napomenem da u gornjem dokazu (mom) u zagradi treba pisati: jer je C1 + C2 konveksan, a ne C1 U C2 konveksan.

Naime, C1 U C2 podskup C1 + C2 => conv (C1 U C2) podskup conv (C1 + C2). Zbog konveksnosti C1 + C2 kao zbroja konveksnih je conv (C1 + C2) = C1 + C2, pa je zato conv (C1 U C2) podskup C1 + C2.

_________________
Lea

[Gost]

Može pomoć oko jednog lijepog zadatka?

Neka je A element Rnxn simetrična pozitivno definitna matrica,
f : R na n→R funkcija zadana sa f(x)=exp (x * Ax), te (xi) i>=0 niz definiran Newtonovom metodom za ekstreme funkcije f.Dokažite da svi članovi niza leže na pravcu koji spaja ishodište s početnom aproksimacijom xo!!!

[mickey]

i mene taj zadatak muci...ima li koja dobra dusa da ponudi rjesenje?

Moze i sljedeci:
12.2.2007. - 1.zadatak, b)
C={x iz Rn : Ax<=0}, pri cemu je A iz Rmxn. Dokazite da vrijedi
C*=C(a1,a2,...,am),
gdje su a1,...,am reci matrice A.
(C*={x iz Rn : xy<=0, za svaki y iz C})

Mnogo hvala!

_________________
** cao bao **

[mickey]

Rjesenje za 12.2.2007. b)
Neka je x iz C* i pretpostavimo da x nije iz C(a1,...,am). Po teoremu o separaciji za poliedarske konuse postoji q iz Rn takav da je

(i) xq>0

i

(ii) aiq⇐0 za svaki redak matrice A.

(ii) → Aq⇐0 → q iz C → xq⇐0 (jer je x iz C*)
Što je kontradikcija s (i).
Eto

_________________
** cao bao **

[greeneyes]