| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Chaky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 12. 2005. (18:40:20)
Postovi: (3)16
Lokacija: Zagreb
|
 Postano: 22:25 pon, 19. 3. 2007 Naslov: moje "otkrice" |
    |
|
|
kao prvo da se ispricam za vjerojatno fulavanje smjestanja teme ... slobodno me premjestite gdje ova tema pase (pa i u bisere ako treba :) )
u trenutku malo vece dosade :) primjetio sam jednu pravilnost koju bi htio podjeliti sa pametnijim ljudima (pogotovo vjestijima u teoriji brojeva... za koju mislim da je "nadlezna" za ovo)
dakle ovako.... za pocetak krenemo sa jedinicom koju mnozimo uzastopno sa 2 i dobit cemo vec predobro poznati niz
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024...
i sad pocnemo zbrajati znamenke tim brojevima.... i ako dobijemo u zbroju viseznamenkasti broj onda i zbroju zbrojimo znamenke... itd. dok ne dodjemo do jednoznamenkastog broja (npr. 256 -> 13 -> 4)
i sad dobijemo niz brojeva koji se periodicki ponavljaju
1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7...
Da li ovo vec davno otkriveno i dokazano? Da li mi netko moze pokazati dokaz toga... ili barem ideju dokaza? Ja sam samo isprobao na prvih 20-tak potencija broja 2.
eh da, nizovi brojeva dobiveni na isti nacin, ali krecuci od nekog drugog prirodnog broja, su takodjer periodicki
kao prvo da se ispricam za vjerojatno fulavanje smjestanja teme ... slobodno me premjestite gdje ova tema pase (pa i u bisere ako treba  )
u trenutku malo vece dosade primjetio sam jednu pravilnost koju bi htio podjeliti sa pametnijim ljudima (pogotovo vjestijima u teoriji brojeva... za koju mislim da je "nadlezna" za ovo)
dakle ovako.... za pocetak krenemo sa jedinicom koju mnozimo uzastopno sa 2 i dobit cemo vec predobro poznati niz
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024...
i sad pocnemo zbrajati znamenke tim brojevima.... i ako dobijemo u zbroju viseznamenkasti broj onda i zbroju zbrojimo znamenke... itd. dok ne dodjemo do jednoznamenkastog broja (npr. 256 -> 13 -> 4)
i sad dobijemo niz brojeva koji se periodicki ponavljaju
1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7...
Da li ovo vec davno otkriveno i dokazano? Da li mi netko moze pokazati dokaz toga... ili barem ideju dokaza? Ja sam samo isprobao na prvih 20-tak potencija broja 2.
eh da, nizovi brojeva dobiveni na isti nacin, ali krecuci od nekog drugog prirodnog broja, su takodjer periodicki
_________________
Cptn. Picard: Mutiny!? On a Federation starship? That's... that's shocking, it's... it's unthinkable.
|
|
| [Vrh] |
|
Smith
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 30. 10. 2004. (23:30:23)
Postovi: (178)16
Spol: 
Lokacija: {Tamo Gore}^{TM}
|
| Postano: 22:41 pon, 19. 3. 2007 Naslov: |
|
|
|
Kako ja to vidim...
Krenimo ovako: broj je djeljiv s 9 akko mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Na goreopisani nacin mozemo broju zbrajati znamenke do jednoznamenkastog broja i ako na kraju dobijemo 9, broj je djeljiv s 9.
Razmotrimo sljedece: trazimo x u (a_1...a_n)=x(.9) gdje je (a_1...a_n) n-znamenkasti broj. Primijeti da tu u biti pise a_1*10^n+...+a_{n-1}*10^1+a_n*10^0=a_1+...+a_{n-1}+a_n=x(.9). Drugim rijecima, ne samo da zbrajanjem znamenki saznajes je li broj djeljiv s 9, vec dobivas i njegov ostatak pri dijeljenju s 9. Naravno, i tu mozes ici [i]duboko[/i] koliko zelis, tj. pozbrajati i znamenke broja x, pa dobivenog itd. i dobit ces ostatak.
To je u biti ono sto si tu ucinio i time dobio niz 2^n mod 9 za n@|N.
Neka me netko ispravi ako grijesim! :oops: 8) :oops:
Kako ja to vidim...
Krenimo ovako: broj je djeljiv s 9 akko mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Na goreopisani nacin mozemo broju zbrajati znamenke do jednoznamenkastog broja i ako na kraju dobijemo 9, broj je djeljiv s 9.
Razmotrimo sljedece: trazimo x u (a_1...a_n)=x(.9) gdje je (a_1...a_n) n-znamenkasti broj. Primijeti da tu u biti pise a_1*10^n+...+a_{n-1}*10^1+a_n*10^0=a_1+...+a_{n-1}+a_n=x(.9). Drugim rijecima, ne samo da zbrajanjem znamenki saznajes je li broj djeljiv s 9, vec dobivas i njegov ostatak pri dijeljenju s 9. Naravno, i tu mozes ici duboko koliko zelis, tj. pozbrajati i znamenke broja x, pa dobivenog itd. i dobit ces ostatak.
To je u biti ono sto si tu ucinio i time dobio niz 2^n mod 9 za n@|N.
Neka me netko ispravi ako grijesim!  
_________________
We only have one candle
To burn down to the handle...
- Sonata Arctica, Weballergy
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 22:55 pon, 19. 3. 2007 Naslov: |
|
|
|
To je niz brojeva [latex]2^n \mod 9[/latex] (sto je, kako je poznato, jednako sumama znamenaka). :) Vise o tome imas [url=http://www.research.att.com/~njas/sequences/A029898]ovdje[/url] (i inace fascinanatan [url=http://www.research.att.com/~njas/sequences/]site[/url], barem meni :gg:)
Primijeti da je period 6, te uzmi da imas jednoznamenkasti [latex]x \in \{1,2,\dots,9\}[/latex]. Tada je
[latex]2^6 \cdot x = 64x[/latex]
Zbrojis li znamenke dobivenog broja, imas da je zbroj opet [latex]x[/latex], sto objasnjava periodicnost. :D
Ako nikako drugacije, ovo zadnje provjeris programski:
[code:1]$ perl -e 'print"x\tsuma znamenaka od 64x\n";foreach (1..9){print;$x=$_*64;while($x>9){$sum=0;while($x>0){$sum+=$x%10;$x/=10;}$x=$sum;}print"\t$x\n";}'
x suma znamenaka od 64x
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9[/code:1]
Stvar valjda spada u Teoriju brojeva, ali nisam siguran, pa neka bude ovdje. 8)
Matematicki (neprogramerski ;)), stvar dolazi od cinjenice da je 64=63+1, tj. da broj 64 daje ostatak 1 pri dijeljenju s 9, sto znaci da mnozenjem sa 64 ne mijenjas ostatak pri dijeljenju s 9 (64x = 63x+x = 9*7x+x). :D
Za opcenitiju tvrdnju, to znaci da za svaki [i]k[/i] (tebi je [i]k[/i]=2) trebas samo naci potenciju od [i]k[/i] koja pri dijeljenju s 9 ima ostatak 1 (osim za [i]k[/i] djeljiv s 3, gdje je stvar daleko laksa) i imas isti argument periodicnost. 8)
Da takva potencija zbilja i postoji za svaki [i]k[/i], cini mi se da se lako pokaze (sjecam se u magli neceg slicnog), ali to tebi za kucni uradak... O:) ;)
To je niz brojeva  (sto je, kako je poznato, jednako sumama znamenaka). Vise o tome imas ovdje (i inace fascinanatan site, barem meni  )
Primijeti da je period 6, te uzmi da imas jednoznamenkasti  . Tada je
Zbrojis li znamenke dobivenog broja, imas da je zbroj opet  , sto objasnjava periodicnost. 
Ako nikako drugacije, ovo zadnje provjeris programski:
| Kod: | $ perl -e 'print"x\tsuma znamenaka od 64x\n";foreach (1..9){print;$x=$_*64;while($x>9){$sum=0;while($x>0){$sum+=$x%10;$x/=10;}$x=$sum;}print"\t$x\n";}'
x suma znamenaka od 64x
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9 |
Stvar valjda spada u Teoriju brojeva, ali nisam siguran, pa neka bude ovdje.
Matematicki (neprogramerski  ), stvar dolazi od cinjenice da je 64=63+1, tj. da broj 64 daje ostatak 1 pri dijeljenju s 9, sto znaci da mnozenjem sa 64 ne mijenjas ostatak pri dijeljenju s 9 (64x = 63x+x = 9*7x+x).
Za opcenitiju tvrdnju, to znaci da za svaki k (tebi je k=2) trebas samo naci potenciju od k koja pri dijeljenju s 9 ima ostatak 1 (osim za k djeljiv s 3, gdje je stvar daleko laksa) i imas isti argument periodicnost.
Da takva potencija zbilja i postoji za svaki k, cini mi se da se lako pokaze (sjecam se u magli neceg slicnog), ali to tebi za kucni uradak... 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
Chaky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 12. 2005. (18:40:20)
Postovi: (3)16
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
ancy.
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 05. 2007. (00:38:54)
Postovi: (C)16
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
vinko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 08. 2006. (23:08:00)
Postovi: (1A8)16
Spol:
Lokacija: PMF-MO 214
|
| Postano: 11:32 uto, 8. 5. 2007 Naslov: |
|
|
|
Nisam ovo prije vidio, pa da probam malo poopćiti (ono što napisaše vsego, Smith i Chacky):
Svaki broj daje isti ostatak pri djeljenju sa m (u našem slučaju 9), kao i zbroj njegovih znamenaka zapisan u bazi m+1.
Teorija brojeva nam kaže da ako su (a,m) relativno prosti (u našem slučaju a je 2), postoji e takav da a^e daje ostatak 1 pri djeljenju sa m (e je djelitelj EulerPhi(m) - u našem slučaju 2*3). Najmanji takav e se zvao red od a modulo m.
Dakle ako su a i m relativno prosti, period početnog niza će biti periodičan.
Ako nisu relativno prosti isto nije teško dokazati - trebalo bi posebno promatrati proste faktore od m. Niz možda neće biti pravo periodičan, nego će imati neki početni dio, a ostatak će se ponavljati.
Npr niz 3^i je: 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9...
Onako otprilike, duljina perioda će biti neki djelitelj od EulerPhi(m).
Nisam ovo prije vidio, pa da probam malo poopćiti (ono što napisaše vsego, Smith i Chacky):
Svaki broj daje isti ostatak pri djeljenju sa m (u našem slučaju 9), kao i zbroj njegovih znamenaka zapisan u bazi m+1.
Teorija brojeva nam kaže da ako su (a,m) relativno prosti (u našem slučaju a je 2), postoji e takav da a^e daje ostatak 1 pri djeljenju sa m (e je djelitelj EulerPhi(m) - u našem slučaju 2*3). Najmanji takav e se zvao red od a modulo m.
Dakle ako su a i m relativno prosti, period početnog niza će biti periodičan.
Ako nisu relativno prosti isto nije teško dokazati - trebalo bi posebno promatrati proste faktore od m. Niz možda neće biti pravo periodičan, nego će imati neki početni dio, a ostatak će se ponavljati.
Npr niz 3^i je: 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9...
Onako otprilike, duljina perioda će biti neki djelitelj od EulerPhi(m).
|
|
| [Vrh] |
|
|
