Stranice upisanog poligona

[geometar]

Evo jednog problem(čića) ,kojeg sam nedavno vidio,ali ne znam rješiti:
Dana je jednažba kružnice u koordinatnoj ravnini:


Iako na njoj nema naravno racionalnih točaka,pitanje je sljedeće:
Možemo li uvjek izabrati točaka na njoj tako da su njihove udaljenosti međusobno racionalne?
Ako ne može za sve n>4 ,za koje to mozemo?
Molio bih,ako može, elaborirano objašnjenje odgovora.

Hvala.

[duje]

Pogledajte ovaj clanak, Propozicija 1.1.

[geometar]

Profesore :ovo je stvarno munjeviti odgovor!
Upravo proucavam članak i vidim da se u njemu dokazuju i ozbiljnije stvari od mog pitanja.Ali još nisam shvatio (djelomice zbog mog engleskog) neke stvari,pa evo jedno dodatno pitanje.Da li prema članku znači da na svakoj kruznici :

x^2 + y^2 = r^2

gdje je r proizvoljan broj moze pronaći beskonačno mnogo točaka koje su međusobno udaljene za racionalnu duzinu (tj. upisati poligon sa proizvoljno mnogo stranica gdje su i stranice i dijagonale racionalno udaljene)?
Hvala unaprijed na odgovoru.

[duje]

Meni se cini da je odgovor potvrdan.
Ne znam puno o tim pitanjima, a za ovaj clanak sam znao jer su me zanimali neki drugi clanci istog autora (dopisivali smo se oko eliptickih krivulja velikog ranga).

[geometar]

Da.Koliko mi je jasno tako piše u članku.
Ali nije mi jasno, u dokazu Propozicije 1.1 ovo mjesto:
"Promotrimo sada vertikalnu liniju L.
Sve točke na L sa racionalnim duljinama i imaginarni djelom koordinate
mogu se jednostavno parametrizirati (prema lemi 2.1)".

Ono što mi nije jasno gledajući dokaz leme 2.1. je kao da konika treba imati racionalne točke na sebi jer prije nje autor uzima primjer
( koja ima racionalnih kordinata). Kaže "pretpostavimo da je (na paraboli) racionalna" i onda nastavlja dalje na dokaz leme.
Međutim ima kružnica koje nemaju ni jednu racionalnu točku i to me sad muči...
Možete li malo pogledati ,to je odmah na početku rada?
Unaprijed hvala.

[duje]

Lema 2.1 iz clanka je u biti Teorem 7.3 iz skripte (o Pitagorinim trojkama).
Vertikalni pravac ima jednadzbu oblika x=a. Sad se na njemu traze tocke (a,y) za koje je y racionalan, a takodjer i sqrt(a^2+y^2)=z racionalan.
Dobije se Pitagorina jednadzba a^2+y^2=z^2 ili 1+(y/a)^2=(z/a)^2.
Po Lemi 2.1 je y=a*((m^2-1)/(2m)), za m iz Q.
Skup svih brojeva ovakvog oblika je gust u R (dosta je vidjeti da je slika funkcije f:R\{0}→R, f(m)=(m^2-1)/(2m) jednaka R).

[geometar]

Hvala još jednom.
Sad je jasnije.