Opseg i povrsina kruznice preko limesa

[anchy]

ajd ako neko zna i ima volje... trebam do cetvrtka popodne rjesit ovaj zadatak, a svako malo zapnem... ajd help me please...

Izvedite formule za opseg kruznice i povrsinu kruga na sljedeci nacin:

(a) Skicirajte kruznicu i njoj upisane pravilne 2 na n+1 - terokute, te izracunajte njihove opsege i povrsine.

(b) Dobivsi niz pravilnih poligona, dokazite da nizovi odgovarajucih opsega i povrsina tih poligona konvergiraju te da su njihovi limesi poznate formule za opseg kruznice i povrsinu kruga.



Moderator: Naslov "zadatak - hitno mi je" ne sluzi nicemu, a ponajmanje informiranju citatelja sto ti u topicu zelis. Molim, potruditi se malo, u skladu s uputama za preglednije pisanje poruka. Nije to tako tesko...

[shimija]

Označimo s a duljinu stranice pravilnog 2^(n+1)- terokuta, r radijus kružnice. Kako je riječ o pravilnom 2^(n+1)- terokutu znači da on ima 2^(n+1) sukladnih jednakokračnih trokutova kojima su vrhovi po dva susjedna vrha tog poligona i središte kružnice. Kut tog trokuta nasuprotan osnovici (u središtu kružnice) iznosi x=360/2^(n+1) (2), a druga dva su jednaka pa iznose y=(180-( 360/2^(n+1)))/2 =90-x/2 (1). iskoristimo sinusov poučak pa imamo:
a/(sinx)=r/(siny) ⇒(1) ⇒ a=sinx*(r/sin(90-x/2)) ⇒(formula sinus dvostrukog i adicijki poučak za sinus) ⇒ a=2sinx/2*cosx/2*(r/cos(x/2)) ⇒ a=2*sin(x/2)*r ⇒(2) ⇒ a=2*sin(360/2^(n+2))*r

Opseg je jednak o=2^(n+1)*a ⇒ o=2^(n+2)*sin(360/2^(n+2))*r

sad gledaš limes kad n ide u beskonačnost. Pretpostaviš da limes postoji i pokušaš ga izračunat:

lim(n→besk.) 2^(n+2)*sin(360/2^(n+2))*r = {t=360/2^(n+2); n→besk. ⇒ t→0} = lim(t→0) (sint/t)*(360)*r = {lim(n→0) sin(n)/n =1 (poznati limes)} = 360*r = 2*pi*r, a to je formula opsega kružnice. analogno za površinu.

Pozdrav i nadan se da će pomoć [/code][/list]

[anchy]

puno ti hvala... na slican nacin sam i ja rjesavala al sam se spetljala, sad mi je i jasnije kak doci do svega toga... hvala jos jednom