Par zadataka (zadatak)

[pefri]

Pozdrav,

Pripremam se za ispit i naisla sam na dva zadatka za koje bih trebala pomoć!

1. Neka je X vekt.pr., p:X—R polunorma i f :X—R linearni funkcional. Pretpostavimo da vrijedi (p<1)∩(f=1)=prazan skup, gdje je (p<1) = {xeX : p(x)<1} te (f=1)= {xeX : f(x)=1 } Dokažite da tada vrijedi: │f(a)│⇐p(a) za svaki aeX.
Da li vrijedi obrat?



2. Neka je X vekt.prostor te neka su p i q dvije polunorme na X. Pretpostavimo da vrijedi gdje za polunormu r na X definiramo (r <1)={xeX : r(x)<1}. Dokažite da je tada p>=q.


Može li mi netko barem dati ideju kako da krenem sa zadacima? Hvala!!!

[pefri]

e i jos nešto zadatak ide:

Odredite sve potprostore vekt.pr.R^2 uz standardne operacije zbrajanja vektora i množenja vektora skalarom.

Rj.
To su prazan skup, R^2 , A= {(0,y): ye R}, B= {(x,0): xe R}, C={(x,tx): xeR, teR}
Ima li jos koji?

[MB]

[pefri]

Hvala na spretnijoj i preciznijoj formulaciji!

[Gost]

Da ne otvaram novi topik, nadovezao bih se na ovaj s dva zadatka za koja molim pomoć:



Dokazao sam ⇐, ali nikako ne mogu suvislo argumentirati >=.



A ovdje uopće ne znam otkud bih počeo
Mogu natipkati to što sam počeo raspisivati, ako će ikome pomoći, ali nisam ništa konkretno dobio.

Bit ću zahvalan na svakoj pomoći.

[MB]

imas li vjezbe? cini mi se da su oba zadatka rijesena tamo.
hintovi za prvi: sto znas o spektru hermitskog operatora? jesi li vidio lemu koja govori nesto o konveksnoj ljusci spektra?

za drugi zadatak:
a) ⇒ b). oznaci onaj zatvoreni potprostor iz uvjeta sa A_m. tada a_m nije element od A_m, te postoji ortogonalni komplement od A_m koji oznacimo sa B_m. Znas da je H direktna suma od A_m i B_m. Sada a_m=x_m + y_m gdje je x_m iz A_m, a y_m iz B_m. (ovo sve radimo jer pokusavmo konstruirati element koji je okomit na sve a_n za n razlicito od m).
pogledaj y_m, on je razlicit od 0 jer a_m nije iz A_m. vrijedi (y_m|a_n)=0 za n<>m, a (y_m|a_m)=(y_m|x_m+y_m)=(y_m|x_m)+(y_m|y_m)=||y_m||^2. ako definiras b_m=y_m/||y_m||^2, onda ce biti zadovoljen uvjet b).

b) ⇒ a) pretpostavimo da b) vrijedi, ali a) ne vrijedi. svaki element a iz A_m je limes niza x_k u [{a_n; n<>m}] (elementi tog potprostora su konacne linearne kombinacije tih a_n-ova). svaki taj x_k je okomit na b_m, pa je zbog neprekidnosti skalarnog produkta i (a|b_m)=(lim x_k|b_m)=lim (x_k|b_m)=0. No ako a_m je element od A_m onda je (a_m|b_m)=0, sto je kontradikcija s uvjetom b). dakle, b) povlaci a).

_________________

[Gost]

Nisam još detaljno pogledao odgovor (to cu u toku noći ), ali se zahvaljujem kolegi MB na trudu!

[MB]

mislio sam da znam ko je gost, al ako ces gledat tokom noci onda sam se prevario zahvali se karmom

_________________