|
[quote="zoja"]
Ako imamo direktni produkt dvije grupe, npr Z6 i Z9. NZD(6,9)=3 (Dakle, NZD!=1)
Povlaci li to da Z6xZ9 nije ciklicka?[/quote]
Da. Grupa Z_n x Z_m je ciklicka ako i samo ako su n i m relativno prosti. Pogledaj taj dokaz (raden je na vjezbama) pa ga provedi u slucaju n=6 i m=9 da osjetis TOCNO zasto nije ciklicka.
Uglavnom, ciklicka grupa je grupa koja je generirana jednim svojim elementom. Red tog elementa (najmanja potencija na koju on daje neutr el) jednak je redu grupe koju generira. Kad bi Z_6 x Z_9 bila ciklicka, imala bi element reda 6x9=54. Medutim, pokaze se (napravi to sama!) da je svaki element grupe Z_6 x Z_9 reda manjeg ili jednakog NZV(6,9)=18 (provjeris da svaki element na 18 daje neutr el). Pa nije cikl.
[quote="zoja"]
Kako u takvoj gpi odrediti generator? [/quote]
Pa, one NEMA generator. Ima generatorE, kao, neki veci skup koji ju generira. Kao sto si napisala dolje.
[quote="zoja"]Da li npr. (1,0) i (0,1) generiraju cijelu gpu i kako naci red od npr (1,0)?
[/quote]
Red od (1,0) racunas po definiciji: trazis najmanji n takav da (1,0) zbrojen sam sa sobom n puta daje neutr el. Ako ne mozes pogoditi, ispisujes sve "potencije" (u smislu zbrajanja) od (1,0): (0,0), zatim (1,0), pa (1,0)+(1,0)=(2,0), (1,0)+(2,0)=(3,0), (1,0)+(3,0)=(4,0), (1,0)+(4,0)=(5,0), (1,0)+(5,0)=(6,0)=(0,0). Dakle, najmanji n takav da (1,0) zbrojen sam sa sobom n puta daje neutr el je 6, pa je red od (1,0) tocno 6.
Sad, da bi vidjela da (0,1) i (1,0) generiraju grupu, moras provjeriti da li je najmanja pogrupa od G=Z_6 x Z_9 koja sadrzi ta dva elementa cijela G. Malo razmislis, malo raspisujes i zakljucis ovo: ako podgrupa H od G sadrzi (1,0), onda mora sadrzavati i sve elemente oblika (a,0), za a=0,1,2,3,4,5 (jer njih dobijem zbrajanjem (1,0) samog sa sobom a puta). isto tako, ako sadrzi (0,1), onda sadrzi i sve (0,b), za b=0,1,...,8. Pa onda sadrzi i svaki zbroj oblika (a,b), za a=0,1,2,3,4,5 i b=0,1,...,8, to jest cijelu grupu G.
| zoja (napisa): |
Ako imamo direktni produkt dvije grupe, npr Z6 i Z9. NZD(6,9)=3 (Dakle, NZD!=1)
Povlaci li to da Z6xZ9 nije ciklicka? |
Da. Grupa Z_n x Z_m je ciklicka ako i samo ako su n i m relativno prosti. Pogledaj taj dokaz (raden je na vjezbama) pa ga provedi u slucaju n=6 i m=9 da osjetis TOCNO zasto nije ciklicka.
Uglavnom, ciklicka grupa je grupa koja je generirana jednim svojim elementom. Red tog elementa (najmanja potencija na koju on daje neutr el) jednak je redu grupe koju generira. Kad bi Z_6 x Z_9 bila ciklicka, imala bi element reda 6x9=54. Medutim, pokaze se (napravi to sama!) da je svaki element grupe Z_6 x Z_9 reda manjeg ili jednakog NZV(6,9)=18 (provjeris da svaki element na 18 daje neutr el). Pa nije cikl.
| zoja (napisa): |
Kako u takvoj gpi odrediti generator? |
Pa, one NEMA generator. Ima generatorE, kao, neki veci skup koji ju generira. Kao sto si napisala dolje.
| zoja (napisa): | Da li npr. (1,0) i (0,1) generiraju cijelu gpu i kako naci red od npr (1,0)?
|
Red od (1,0) racunas po definiciji: trazis najmanji n takav da (1,0) zbrojen sam sa sobom n puta daje neutr el. Ako ne mozes pogoditi, ispisujes sve "potencije" (u smislu zbrajanja) od (1,0): (0,0), zatim (1,0), pa (1,0)+(1,0)=(2,0), (1,0)+(2,0)=(3,0), (1,0)+(3,0)=(4,0), (1,0)+(4,0)=(5,0), (1,0)+(5,0)=(6,0)=(0,0). Dakle, najmanji n takav da (1,0) zbrojen sam sa sobom n puta daje neutr el je 6, pa je red od (1,0) tocno 6.
Sad, da bi vidjela da (0,1) i (1,0) generiraju grupu, moras provjeriti da li je najmanja pogrupa od G=Z_6 x Z_9 koja sadrzi ta dva elementa cijela G. Malo razmislis, malo raspisujes i zakljucis ovo: ako podgrupa H od G sadrzi (1,0), onda mora sadrzavati i sve elemente oblika (a,0), za a=0,1,2,3,4,5 (jer njih dobijem zbrajanjem (1,0) samog sa sobom a puta). isto tako, ako sadrzi (0,1), onda sadrzi i sve (0,b), za b=0,1,...,8. Pa onda sadrzi i svaki zbroj oblika (a,b), za a=0,1,2,3,4,5 i b=0,1,...,8, to jest cijelu grupu G.
_________________
A comathematician is a device for turning cotheorems into ffee. A cotheorem is, naturally, an easy nsequence of a rollary.
|
