grupa (zadatak)

[rafaelm]

ako uzmemo m prirodan broj, i definiramo skup:

Um={ a element Zm : M(a,m)=1 }

te operaciju *m : Um x Um -> Zm, a(*m)b:=a*b mod m

treba dokazati da je (Um,*m) grupa! ja sam uspio samo dokazati da je *m binarna operacija na Um, te postojanje neutralnog elementa.
moze li mi netko jos srediti asocijativnost i postojanje inverznog elementa.

_________________
Rafael Mrđen

[Gost]

Za inverzni element koristi se svojstvo (posljedica Euklidovog algoritma)

da za cijele brojeve a, b različite od 0 postoje cijeli brojevi x, y takvi da je

ax + by = M(a,b).

Ovdje imamo ax + my = 1, dakle takav x je inverzni za a u zadanoj operaciji. (Odnosno x mod m).

Drukčije: pokaže se da je množenje svih elemenata Um elementom a injektivno preslikavanje Um u sebe pa je i surjektivno, a onda kao jedan od umnožaka mora se pojaviti i 1.

(a x1, a x2,... očito su u parovima nekongruentni mod m).



Za asocijativnost treba malo raspisati pa se vidi da su (ab)c i a(bc)
kongruentni mod m.

[rafaelm]

hvala. malo sam zaboravia elementarnu od proslog semestra.

_________________
Rafael Mrđen