teorijski zadaci na 1.kol. (zadatak)

[iuppiter]

Trebam malu pomoć u razjašnjavanju nekih stvari, pa ako netko ima vremena da mi malo pomogne...?

1.a Kompaktan podskup od R2 ima mjeru 0 akko ima površinu 0.

Prvo dokazujem smjer s lijeva na desno...
Dakle neka je S podskup od R2 kompaktan == ograničen i zatvoren; ima konačan podpokrivač... i neka ima mjeru == može se pokriti s prebrojivo mnogo pravokutnika ukupne površine manje od epsilon (proizvoljan i >0).
Imati površinu 0 znači da je skup pokriven s konačno mnogo pravokutnika uk.pov manje od epsilon.
Muči me kako priječi s prebrojivosti na konačnost? Dal trebam koristiti svojstvo s podpokrivačem ili ograničenost (zatvorenost)??
Probala sam s tima da potpokrivač prekrijem pravokutnicima, ali kak znam da je njihova površina manja od epsilon?

_________________
Stultorum plena sunt omnia.

/Ciceron/

[m00nblade]

Neka kompaktan skup ima mjeru nula. To znaci da se moze pokriti s najvise prebrojivo mnogo otvorenih pravokutnika cija je ukupna povrsina manja od . Ti pravokutnici cine pokrivac skupa C. Jer je C kompaktan, onda on ima konacan podpokrivac, tj. moze se pokriti s konacno mnogo pravokutnika cija je ukupna povrsina manja od ...Buduci da je ukupna povrsina pravokutnika koji cine pokrivac manja od , kad uzmes konacno mnogo pravokutnika iz pokrivaca i njihova ukupna povrsina je manja od . Dakle, C ima povrsinu nula.

_________________
Real programmers don't comment their code. If it was hard to write, it should be hard to read.

[iuppiter]

@ m00nblade...hvala ti puno!!

1.b Ograničen skup u R2 ima površinu akko njegova granica ima mjeru 0.

Moj dokaz implikacije s lijeva na desno:
Neka C omeđen skup u R2 i ima površinu.
RubC je zatvoren jer je presjek zatvorenih skupova i ograničen jer je C ograničen. (mogu li to tek tako tvrditi?). Slijedi da je rubC kompaktan == svaki njegov otvoreni pokrivač ima konačan potpokrivač => rubC se može pokriti sa konačno mnogo pravokutnika uk pov manje od epsilon => površina ruba je 0=> mjera ruba je 0; Da li bi za takav dokaz mogla dobiti sve bodove (da se traži samo taj smjer) ili još nešto treba dodatno dokazati?

SAda me malo muči obrat ...

Dakle C je ograničen, rub mu je mjere 0. Sada hoću da C ima površinu.
Rub je kompaktan pa ima i površinu 0 => ...kako sad tu?...=>karakteristična funkcija od C je integrabilna.

_________________
Stultorum plena sunt omnia.

/Ciceron/

[m00nblade]

Neka je ogranicen skup i neka je pravokutnik takav da je C sadrzan u unutrasnjosti od A. Pogledamo prosirenje nulom karakteristicne funkcije na A. Skup prekida karakteristicne funkcije je upravo . Buduci da je skup mjere nula, funkcija je integrabilna (po Lebesgueovom teoremu). Dakle, C ima povrsinu.


Edit: Pogledaj i Napomenu 6.7 s predavanja. Tamo je dokazano za 1. c), a iz toga direktno slijedi i b)

_________________
Real programmers don't comment their code. If it was hard to write, it should be hard to read.