Teorija (objasnjenje gradiva)

[Mad Wilson]

Pitance: Propozicija 2.7 (ona prije III tm o izomorfizmu).
G proizvoljna, N normalna u G. Imamo preslikavanje
Phi(H | H<G & N<H) → {H/N | H/N<G/N}
koje je monotona bijekcija.
I bonus za kraj; vrijedi: H normalna u G akko H/N normalna u G/N.

Propozicija i dokaz se nalaze u skripti http://web.math.hr/nastava/alg/predavanja/Grupeweb.pdf str 19.

E sad, taj dokaz...

Prvo i prvo, koja je uopce sama ideja dokaza?!

Drugo i drugo, medu ostalim kaze:

Tada je jasno da vrijedi sljedece:
(a) H<G ; H podgrupa od G


Kako to precizno dokazati?

[Melkor]

Pa ideja dokaza je da se prvo pronađe i na taj način se pokaže da je bijekcija.

Znači, krenemo od neke funkcije definirane s . A priori ne znamo da preslikava podgrupe od u podgrupe od . Znamo samo da ih preslikava u nekakve podskupove. Zato moramo pokazati da vrijedi (1):

Označimo . Neka su . To znači da su . No, kako je grupa, slijedi da je . To pak znači da je . Na isti način se dobije da je jer je . Dakle, imamo .

Dalje se pokaže (2), tj. da je , no to je skroz očito jer je uvijek (to je neutralni element).

Još imaš (3), tj. da je jer je surjekcija.

Sad iz svega toga prvo zaključiš da kodomenu od možeš smanjiti na i konačno da je .

Nakon što dokažeš bijektivnost, ostaje ti dokazati da se normalne podgrupe preslikavaju u normalne. To ti je jasno?

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[MystiC]

evo imam i ja par pitanja

I) GRUPE
u dokazu 2.8 treceg teorema o izomorfizmu (strana 19) da li moram dokazivat da je jezgra M/N na ovaj nacin kao sto je u skripti ili mogu direktno iz definicije jezgre? Ker(pi-potez) = {gN | g € G, pi-potez(gN) = gM = e} = {gN | g € G, pi-potez(gN) = pi(g) = M}={gN | g € G, g € Ker(pi) = M} = M/N

II) PRSTENI
U dokazu propozicije 2.13 i) (strana 16) pise xRy podskup od P, onda je specijalno i x1y=xy podskup od P. ali sto ako R nema jedinicu? a nigdje ne pise u proizvoljnom prstenu s jedinicom

[zzsan]

[Mad Wilson]

Shvatio sam detalje...

Osim (3). Jesmo li tu dokazali da je Pi bijekcija za H?? (zbog surjektivnosti od Pi i definicije od H)?

Naime, ako se ne varam zgodno je razmisljati da preslikavanje Phi barata sa skupovima - ne elementima.
Ako se i dalje ne varam, ono sto smo mi uspijeli dokazati nakon (1), (2) i (3) je da je kanonski epimorfizam (dakle Pi) "skoro" pa bijekcija za skupove ?!?

Ako pak Pi restringiramo na {H | H<G & N<H} (element domene vise ne moze biti bas bilo koji skup, nego mora imati strukturu grupe i biti "nadgrupa" od N) i kodomenu suzimo na {H/N | H/N < G/N} (bas sliku od prethodno restringiranog Pi) injektivnost i surjektivnost slijede iz (3)??

I tako je modificirani Pi postao bijekcija i jednak upravo Phi. Ili mozda nije...??...

No, ocito se negdje varam, jer kaze Melkor "Nakon sto dokazes bijektivnost...".

Preslikavanje normalnih mi je jasno...

Sve u svemu Melkor karma++. Bas ti hvala.

[MystiC]

[MystiC]

zasto je u dokazu 5.22' u prstenima ord q (u) = 0?