Dokaz da je četverokut paralelogram

[k8yvis]

Molim za pomoć, nisam sigurna da li je dokaz u redu.
Zad: U četverokutu ABCD, K i M su polovišta AB i CD, a N i L polovišta dijagonala AC i BD. Dokažite da je KLMN paralelogram.
E, sad, nije mi jasno kakav četverokut da uzmem. Nadalje bi trebalo uzeti proizvoljnu točku O iz E3 i dokazati da se novom "paralelogramu" sijeku dijagonale pomoću udaljenosti njihovih polovišta od točke O ili...?
Hvala unaprijed.

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[goc]

mislim da je dovoljno da je pocetni cetverokut konveksan( nisam gledao za nekonveksne). enivejz
KN je srednjica stranice BC trokuta ABC. ML je srednjica stranice BC trokuta DBC pa su KN i ML iste duljine. isti zakljucak ide za KL i MN...

[ß]

Vrijedi i za nekonveksne, na istu foru sa srednjicama.

Dakle, kao što bi se dalo i zaključiti iz teksta zadatka, početni četverokut je potpuno proizvoljan.


A proizvoljna točka O je za početak vjerojatno iz E2 al to ti ionako ne treba.

_________________
Devious movements in your eyes moved me from relief
Breath comes out white clouds with your lies
and filters through me

[k8yvis]

E2, E3, nemoš falit, ali mi je nekako četverokut preopširan pojam, neznam kako bi ni skicu napravila.. da je bar nešto definirano, kao romb, paralelogram, kvadar, pravokutnik, trapez... ili nešto!
Hvala Vam na pomoći , malo po malo, snać ću se ..

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[Gost]

Pa, u slučaju kad tvrdnja vrijedi za bilo koji četverokut baš je najbolje nacrtati skicu tako da četverokut ne bude specijalan ( dakle, ne npr. paralelogram), kako se neka posebna svojstva ne bi "umiješala" u dokaz, nekim slučajnim podudaranjem koje navodi na pogrešne zaključke.

[k8yvis]

Ajde mi to molim Vas raspišite... Ubila se od posla, i nijente...

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[ß]

Nacrtamo proizvoljan četverokut ABCD, te označimo KLMN na način kako je već opisano u zadatku. Sad vrijedi sljedeće:

-u trokutu ABC, NK je srednjica (jer je K polovište od AB, a N polovište od AC), dakle vrijedi |NK| = 1/2 |BC|
-u trokutu DBC, LM je srednjica (jer je M polovište CD, a L polovište BD), dakle vrijedi |LM| = 1/2 |BC|

Iz ove dvije stvari očito je |LM|=|NK|.

Na isti način promatrajući trokute ACD i ABD, opet za njihove srednjice zaključujemo |MN|= 1/2 |AD| = |KL|.

Znači, za četverokut KLMN imamo |KL|=|MN| i |NK|=|LM|, pa je paralelogram.

_________________
Devious movements in your eyes moved me from relief
Breath comes out white clouds with your lies
and filters through me

[ß]

Kako je podforum LA, evo skicirah i vektorsko rješenje (premda se ustvari svodi na isto):

(pišem boldano umjesto iznad strelice za vektor )

NK = AK - AN = 1/2 AB - 1/2 AC = 1/2 AB - 1/2(AB - BC) = - 1/2 BC
ML = 1/2 BD + 1/2 DC = 1/2 (BD+DC) = 1/2 BC

Primjeti da ti više i ne trebaju vektori LK odnosno MN, jer je ovim dokazano da su dužine NK i ML paralelne i jednake duljine, iz čega opet slijedi da je KLMN paralelogram.

_________________
Devious movements in your eyes moved me from relief
Breath comes out white clouds with your lies
and filters through me

[k8yvis]

Puuno hvala!!!

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?

[Sphiro]

Možda bi trebalo navest granični slučaj kad paralelogram degenerira u dužinu (kod rombova)

[k8yvis]

Pa navedi... Neće škodit

_________________
Da li je napredak kad ljudozder uzme vilicu?