| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 19:51 sri, 11. 2. 2004 Naslov: Dokaz drugog svojstva limesa! |
    |
|
|
Svojstvo limesa:
Ako su (a_n) i (b_n) konvergentni nizovi realnih brojeva tada je niz (a_n*b_n) konvergentan i vrijedi:
lim(a_n*b_n)=lima_n * limb_n
Dokaz:
lima_n=L,limb_n=V
podsjetimo se,svaki konvergentan niz je ograničen, prema tome postoji M>0 takav da [color=blue]|a_n|<=M[/color],An@IN
BSO uzmimo V različit od 0 :
Postoji n_o=n_o(epsilon/(2*|V|))takav da vrijedi (n>=n_o -> |a_n-L|<epsilon/(2*|V|) )
Postoji n_1=n_1(epsilon/(2*M)) takav da vrijedi (n>=n_1 -> |b_n-V|<epsilon/(2*M) )
Uzmimo n_2=max(n_o,n_1)
n@IN i n>=n_2
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
[color=red]<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon[/color]
ova [color=red]crvenkasti dio [/color]me zanima:
-kada je |a_n|=M tada imamo … …<=epsilon/2 + epsilon/2=epsilon
jer se M i M pokrate baš kao i |V| i |V|.
-kada je |a_n|<M tada imamo… …<epsilon
jer umjesto |a_n| pišem neki broj manji od M,primjerice P pa imam P*epsilon/(2*M) kako je P<M onda je izraz P*epsilon/(2*M) strogo manji od epsilon/2.|V| i |V| se opet pokrate pa mi ostaje ''nešto manje od epsilon/2''*epsilon/2 ,a to je sigurno manje od epsilon.
Imam dva pitanja:
1.Jesam li to dobro interpretirao ?
2.Kako je moguće da vrijedi ova nejednakost|a_n*b_n – L*V|<=epsilon kada bi po definiciji konvergencije niza trebalo vrijediti |a_n*b_n – L*V|<epsilon ?
Svojstvo limesa:
Ako su (a_n) i (b_n) konvergentni nizovi realnih brojeva tada je niz (a_n*b_n) konvergentan i vrijedi:
lim(a_n*b_n)=lima_n * limb_n
Dokaz:
lima_n=L,limb_n=V
podsjetimo se,svaki konvergentan niz je ograničen, prema tome postoji M>0 takav da |a_n|⇐M,An@IN
BSO uzmimo V različit od 0 :
Postoji n_o=n_o(epsilon/(2*|V|))takav da vrijedi (n>=n_o → |a_n-L|<epsilon/(2*|V|) )
Postoji n_1=n_1(epsilon/(2*M)) takav da vrijedi (n>=n_1 → |b_n-V|<epsilon/(2*M) )
Uzmimo n_2=max(n_o,n_1)
n@IN i n>=n_2
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
ova crvenkasti dio me zanima:
-kada je |a_n|=M tada imamo … …⇐epsilon/2 + epsilon/2=epsilon
jer se M i M pokrate baš kao i |V| i |V|.
-kada je |a_n|<M tada imamo… …<epsilon
jer umjesto |a_n| pišem neki broj manji od M,primjerice P pa imam P*epsilon/(2*M) kako je P<M onda je izraz P*epsilon/(2*M) strogo manji od epsilon/2.|V| i |V| se opet pokrate pa mi ostaje ''nešto manje od epsilon/2''*epsilon/2 ,a to je sigurno manje od epsilon.
Imam dva pitanja:
1.Jesam li to dobro interpretirao ?
2.Kako je moguće da vrijedi ova nejednakost|a_n*b_n – L*V|⇐epsilon kada bi po definiciji konvergencije niza trebalo vrijediti |a_n*b_n – L*V|<epsilon ?
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:14 sri, 11. 2. 2004 Naslov: Re: Dokaz drugog svojstva limesa! |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Svojstvo limesa:
Ako su (a_n) i (b_n) konvergentni nizovi realnih brojeva tada je niz (a_n*b_n) konvergentan i vrijedi:
lim(a_n*b_n)=lima_n * limb_n
Dokaz:
lima_n=L,limb_n=V
podsjetimo se,svaki konvergentan niz je ograničen, prema tome postoji M>0 takav da [color=blue]|a_n|<=M[/color],An@IN
BSO uzmimo V različit od 0 :
Postoji n_o=n_o(epsilon/(2*|V|))takav da vrijedi (n>=n_o -> |a_n-L|<epsilon/(2*|V|) )
Postoji n_1=n_1(epsilon/(2*M)) takav da vrijedi (n>=n_1 -> |b_n-V|<epsilon/(2*M) )
Uzmimo n_2=max(n_o,n_1)
n@IN i n>=n_2
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
[color=red]<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon[/color]
ova [color=red]crvenkasti dio [/color]me zanima:
-kada je |a_n|=M tada imamo … …<=epsilon/2 + epsilon/2=epsilon
jer se M i M pokrate baš kao i |V| i |V|.
-kada je |a_n|<M tada imamo… …<epsilon
jer umjesto |a_n| pišem neki broj manji od M,primjerice P pa imam P*epsilon/(2*M) kako je P<M onda je izraz P*epsilon/(2*M) strogo manji od epsilon/2.|V| i |V| se opet pokrate pa mi ostaje ''nešto manje od epsilon/2''*epsilon/2[/quote]
Misliš, '+' (umjesto '*' )?
[quote] ,a to je sigurno manje od epsilon.
Imam dva pitanja:
1.Jesam li to dobro interpretirao ?
2.Kako je moguće da vrijedi ova nejednakost|a_n*b_n – L*V|<=epsilon kada bi po definiciji konvergencije niza trebalo vrijediti |a_n*b_n – L*V|<epsilon ?[/quote]
Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .
A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s <=epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...<=epsilon/2<epsilon . Fine.
Ok?
| Anonymous (napisa): | Svojstvo limesa:
Ako su (a_n) i (b_n) konvergentni nizovi realnih brojeva tada je niz (a_n*b_n) konvergentan i vrijedi:
lim(a_n*b_n)=lima_n * limb_n
Dokaz:
lima_n=L,limb_n=V
podsjetimo se,svaki konvergentan niz je ograničen, prema tome postoji M>0 takav da |a_n|⇐M,An@IN
BSO uzmimo V različit od 0 :
Postoji n_o=n_o(epsilon/(2*|V|))takav da vrijedi (n>=n_o → |a_n-L|<epsilon/(2*|V|) )
Postoji n_1=n_1(epsilon/(2*M)) takav da vrijedi (n>=n_1 → |b_n-V|<epsilon/(2*M) )
Uzmimo n_2=max(n_o,n_1)
n@IN i n>=n_2
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
ova crvenkasti dio me zanima:
-kada je |a_n|=M tada imamo … …⇐epsilon/2 + epsilon/2=epsilon
jer se M i M pokrate baš kao i |V| i |V|.
-kada je |a_n|<M tada imamo… …<epsilon
jer umjesto |a_n| pišem neki broj manji od M,primjerice P pa imam P*epsilon/(2*M) kako je P<M onda je izraz P*epsilon/(2*M) strogo manji od epsilon/2.|V| i |V| se opet pokrate pa mi ostaje ''nešto manje od epsilon/2''*epsilon/2 |
Misliš, '+' (umjesto '*' )?
| Citat: | ,a to je sigurno manje od epsilon.
Imam dva pitanja:
1.Jesam li to dobro interpretirao ?
2.Kako je moguće da vrijedi ova nejednakost|a_n*b_n – L*V|⇐epsilon kada bi po definiciji konvergencije niza trebalo vrijediti |a_n*b_n – L*V|<epsilon ? |
Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .
A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s ⇐epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...⇐epsilon/2<epsilon . Fine.
Ok?
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 23:21 sri, 11. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[color=darkred]Misliš, '+' (umjesto '*' )?[/color]
-----------------------------
reply:ovo nisam razumio?!
------------------------------
[color=red]još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .[/color]-----------------------------
reply:kako to dokazati ?
----------------------------
moje mišljenje:
Ja zapravo ni ne smijem u izrazu '' M * epsilon/(2*M) '' pokratiti M sa M,
jer je |b_n-V|<epsilon/(2*M) pa je stoga broj M*epsilon/(2*M) samo tako napisan da imamo predođbu,mi zapravo imamo manji broj od toga u našem izrazu ?
Zato si ti vjerojatno i napisao da množiš pozitivan broj s nečim što je strogo manje od epsilon/(2*M),jeltak?
Ista stvar vrijedi i za izraz '' |V|*epsilon/(2*|V|'' ?
Jesam li u pravu ?
-----------------------------
[color=red]A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s <=epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...<=epsilon/2<epsilon . Fine.[/color]-----------------------------
reply:možeš još jednom pojasniti ovo gore,mislim još ne razumijem to ''<=epsilon'' ?
:wink:
Misliš, '+' (umjesto '*' )?
-----------------------------
reply:ovo nisam razumio?!
------------------------------
još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .-----------------------------
reply:kako to dokazati ?
----------------------------
moje mišljenje:
Ja zapravo ni ne smijem u izrazu '' M * epsilon/(2*M) '' pokratiti M sa M,
jer je |b_n-V|<epsilon/(2*M) pa je stoga broj M*epsilon/(2*M) samo tako napisan da imamo predođbu,mi zapravo imamo manji broj od toga u našem izrazu ?
Zato si ti vjerojatno i napisao da množiš pozitivan broj s nečim što je strogo manje od epsilon/(2*M),jeltak?
Ista stvar vrijedi i za izraz '' |V|*epsilon/(2*|V|'' ?
Jesam li u pravu ?
-----------------------------
A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s ⇐epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...⇐epsilon/2<epsilon . Fine.-----------------------------
reply:možeš još jednom pojasniti ovo gore,mislim još ne razumijem to ''⇐epsilon'' ?
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 23:47 sri, 11. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"][color=darkred]Misliš, '+' (umjesto '*' )?[/color]
-----------------------------
reply:ovo nisam razumio?![/quote]
Imaš '*' u gornjem postu između dvije polovice epsilona. Vjerojatno tipfeler, look again.
[quote][color=red]još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .[/color]-----------------------------
reply:kako to dokazati ?[/quote]
Što kako dokazati? Da strogu nejednadžbu možeš pomnožiti pozitivnim brojem i da se smjer nejednakosti ne mijenja? Well...
a<b . Dodaš (-a) na obje strane, dobiješ 0<b-a , odnosno b-a je pozitivan. Ako je c pozitivan, umnožak dva pozitivna broja je pozitivan: 0<c(b-a) . Po distributivnosti, 0<cb-ca . Dodaš ca na obje strane, i imaš ca<cb . kved.
[quote]moje mišljenje:
Ja zapravo ni ne smijem u izrazu '' M * epsilon/(2*M) '' pokratiti M sa M,
jer je |b_n-V|<epsilon/(2*M)[/quote]
Miješaš izraze. _U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M . U izrazu M*|b_n-V| ne smiješ, jer M uopće nema u nazivniku. Nitko nigdje ne kaže da su ta dva izraza jedan te isti izraz, čak ni da su jednaki - štoviše, kao što gore dokazasmo, nikad i nisu jednaki jer je jedan uvijek strogo manji od drugog (za M>0 ).
[quote] pa je stoga broj M*epsilon/(2*M) samo tako napisan da imamo predođbu,mi zapravo imamo manji broj od toga u našem izrazu ?[/quote]
Ovisi kojem izrazu. Privikni se na to da je gore napisano puno izrazâ, ne samo jedan. Jedan nas prvenstveno zanima, onaj |a_n*b_n-lim a*lim b| , ali u njegovom proučavanju smijemo se služiti i drugim izrazima.
[quote]Zato si ti vjerojatno i napisao da množiš pozitivan broj s nečim što je strogo manje od epsilon/(2*M),jeltak?
Ista stvar vrijedi i za izraz '' |V|*epsilon/(2*|V|'' ?
Jesam li u pravu ?[/quote]
Otprilike. Pročitaj sad moj gornji komentar. :-)
[quote][color=red]A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s <=epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...<=epsilon/2<epsilon . Fine.[/color]-----------------------------
reply:možeš još jednom pojasniti ovo gore,mislim još ne razumijem to ''<=epsilon'' ?
:wink:[/quote]
Npr. imaš dokaz da za svaki pozitivni epsilon (...sad tu ide još kvantifikatorâ...) neki blabla manji ili jednak od epsilon. Želiš dobiti tu istu tvrdnju, samo sa strogo manje. To uvijek (u situaciji poput gornje) možeš učiniti ovako: Prvo prepišeš taj isti dokaz da je blabla<=epsilon , samo umjesto epsilon staviš epsilon/2 . "Za svaki pozitivni" ostaje "za svaki pozitivni", jer je eps>0 <=> eps/2>0 . I drugo, na kraju tog dokaza sad ćeš dobiti blabla=...<=(...npr...)=...<=epsilon/2 . Na kraj toga samo još dopišeš, "a to je manje od epsilon ", odnosno blabla<=epsilon/2<epsilon . Jer naravno, za eps>0 , vrijedi eps/2<eps .
Sve jasno?
| Anonymous (napisa): | Misliš, '+' (umjesto '*' )?
-----------------------------
reply:ovo nisam razumio?! |
Imaš '*' u gornjem postu između dvije polovice epsilona. Vjerojatno tipfeler, look again.
| Citat: | još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 .-----------------------------
reply:kako to dokazati ? |
Što kako dokazati? Da strogu nejednadžbu možeš pomnožiti pozitivnim brojem i da se smjer nejednakosti ne mijenja? Well...
a<b . Dodaš (-a) na obje strane, dobiješ 0<b-a , odnosno b-a je pozitivan. Ako je c pozitivan, umnožak dva pozitivna broja je pozitivan: 0<c(b-a) . Po distributivnosti, 0<cb-ca . Dodaš ca na obje strane, i imaš ca<cb . kved.
| Citat: | moje mišljenje:
Ja zapravo ni ne smijem u izrazu '' M * epsilon/(2*M) '' pokratiti M sa M,
jer je |b_n-V|<epsilon/(2*M) |
Miješaš izraze. _U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M . U izrazu M*|b_n-V| ne smiješ, jer M uopće nema u nazivniku. Nitko nigdje ne kaže da su ta dva izraza jedan te isti izraz, čak ni da su jednaki - štoviše, kao što gore dokazasmo, nikad i nisu jednaki jer je jedan uvijek strogo manji od drugog (za M>0 ).
| Citat: | | pa je stoga broj M*epsilon/(2*M) samo tako napisan da imamo predođbu,mi zapravo imamo manji broj od toga u našem izrazu ? |
Ovisi kojem izrazu. Privikni se na to da je gore napisano puno izrazâ, ne samo jedan. Jedan nas prvenstveno zanima, onaj |a_n*b_n-lim a*lim b| , ali u njegovom proučavanju smijemo se služiti i drugim izrazima.
| Citat: | Zato si ti vjerojatno i napisao da množiš pozitivan broj s nečim što je strogo manje od epsilon/(2*M),jeltak?
Ista stvar vrijedi i za izraz '' |V|*epsilon/(2*|V|'' ?
Jesam li u pravu ? |
Otprilike. Pročitaj sad moj gornji komentar. 
| Citat: | A kao drugo, dobro je vidjeti u širem kontekstu da se <epsilon uvijek u tkavim naštimavanjima može zamijeniti s ⇐epsilon , jer tvrdnja mora vrijediti univerzalno po epsilon. Drugim riječima, sve što smo napravili za epsilon>0 napravimo za npr. epsilon/2,>0 , i na kraju kažemo:
...⇐epsilon/2<epsilon . Fine.-----------------------------
reply:možeš još jednom pojasniti ovo gore,mislim još ne razumijem to ''⇐epsilon'' ?
|
Npr. imaš dokaz da za svaki pozitivni epsilon (...sad tu ide još kvantifikatorâ...) neki blabla manji ili jednak od epsilon. Želiš dobiti tu istu tvrdnju, samo sa strogo manje. To uvijek (u situaciji poput gornje) možeš učiniti ovako: Prvo prepišeš taj isti dokaz da je blabla⇐epsilon , samo umjesto epsilon staviš epsilon/2 . "Za svaki pozitivni" ostaje "za svaki pozitivni", jer je eps>0 ⇔ eps/2>0 . I drugo, na kraju tog dokaza sad ćeš dobiti blabla=...⇐(...npr...)=...⇐epsilon/2 . Na kraj toga samo još dopišeš, "a to je manje od epsilon ", odnosno blabla⇐epsilon/2<epsilon . Jer naravno, za eps>0 , vrijedi eps/2<eps .
Sve jasno?
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 1:32 čet, 12. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[color=darkred]''...Imaš '*' u gornjem postu između dvije polovice epsilona. Vjerojatno tipfeler, look again...''[/color]
reply:da,thanx!
moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti.
[color=darkred]''…Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 …''[/color]
evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna?
Taj izraz je samo izazvao problem:
[color=darkred]''…_U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M…''[/color]
,pa pokratim te M-ove i imam …<=eps/2+eps/2 i dakle …<=eps i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|<=eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!!
''...Imaš '*' u gornjem postu između dvije polovice epsilona. Vjerojatno tipfeler, look again...''
reply:da,thanx!
moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti.
''…Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 …''
evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna?
Taj izraz je samo izazvao problem:
''…_U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M…''
,pa pokratim te M-ove i imam …⇐eps/2+eps/2 i dakle …⇐eps i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|⇐eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!!
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 2:04 čet, 12. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
Prvo, molio bih cijenjenog gosta da pise citate kako je to obicaj na ovom Forumu i kako se i mi ostali trudimo. 8) Takodjer, ako nije problem, da koristi neku drugu boju osim [color=darkred]darkred[/color] i [color=blue]blue[/color]: njih obicno koriste Admini i modovi. :)
[quote="Anonymous"]moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti.[/quote]
Da li je tebi odmah ocito da je |a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| <=epsilon :?: Vecini nije, pa onda radi ovako:
[code:1]|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| <= epsilon
|a_n-L| < epsilon/(2*|V|)
|b_n-V| < epsilon/(2*M)[/code:1]
Sad se zadnje dvije nejednakosti uvrste u prvu, pa se dobije:
[code:1]|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| <
M*epsilon/(2*M) + |V| * epsilon/(2*|V|) = epsilon[/code:1]
Eto, da si tako odmah raspisao, vidio bi da se odmah dobije strogo manje. 8)
Ovi [i]nesto[/i]*epsilon/(2*[i]nesto[/i]) su samo pomocni izrazi. [b]Primjer[/b]: Kao kad rjesavas jednadzbu:
[code:1]x^2 = 2x - 1 =>
x^2 - 2x + 1 = 0 =>
(x-1)^2 = 0 =>
x = 1[/code:1]
Mozes odmah napisati i:
[code:1]x^2 = 2x - 1 =>
x = 1[/code:1]
ali to bas i nije tako ocito, ne? :) A kod tezih izraza je, naravno, jos gore... :)
[quote="Anonymous"]evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna?
...
,pa pokratim te M-ove i imam …<=eps/2+eps/2 i dakle …<=eps i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|<=eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!![/quote]
Vidi ovako...
Imas dva niza. Uzmes proizvoljni epsilon i definiras:
epsilon1 = epsilon/(2*|V|)
epsilon2 = epsilon/(2*M)
Posto su nizovi [i]a[/i] i [i]b[/i] konvergentni, za te epsilone nadjes one n_0 i n_1, pa je n_2 veci od njih dvojice, itd. Zakljucak svega je da ti vrijedi
|a_n*b_n – L*V| <= |V| * epsilon1 + M * epsilon2 = epsilon
Zanemari sto smo pokazali da je strogo manje; pokazujem ti kako bi se rijesili ovog "[i]jednako[/i]" da smo stvarno dobili "[i]manje ili jednako[/i]". :shock:
Ok, sto bi sad bilo da si u formulu za epsilon1 i epsilon2 stavio epsilon/2 umjesto epsilon?
epsilon1 = (epsilon/2)/(2*|V|)
epsilon2 = (epsilon/2)/(2*M)
:arrow:
|a_n*b_n – L*V| <= |V| * epsilon1 + M * epsilon2 = epsilon/2 [b][u]< epsilon[/u][/b]
Je l' sada jasnije? :D
Ti ne trazis odnos izmedju "[i]epsilonova od nizova a i b[/i]" i "[i]epsilona od niza a*b[/i]", nego te samo zanima da li na nizu a*b vrijedi svojstvo da su "[i]od nekog clana na dalje, [b]svi elementi[/b] u epsilon okolini[/i]". A taj pocetni clan izaberes kako ti pase (dakle uzmes [b]proizvoljnu[/b] okolinu od L i V)!
Prvo, molio bih cijenjenog gosta da pise citate kako je to obicaj na ovom Forumu i kako se i mi ostali trudimo.  Takodjer, ako nije problem, da koristi neku drugu boju osim darkred i blue: njih obicno koriste Admini i modovi.
| Anonymous (napisa): | moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti. |
Da li je tebi odmah ocito da je |a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| ⇐epsilon  Vecini nije, pa onda radi ovako:
| Kod: | |a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| <= epsilon
|a_n-L| < epsilon/(2*|V|)
|b_n-V| < epsilon/(2*M) |
Sad se zadnje dvije nejednakosti uvrste u prvu, pa se dobije:
| Kod: | |a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L| <
M*epsilon/(2*M) + |V| * epsilon/(2*|V|) = epsilon |
Eto, da si tako odmah raspisao, vidio bi da se odmah dobije strogo manje.
Ovi nesto*epsilon/(2*nesto) su samo pomocni izrazi. Primjer: Kao kad rjesavas jednadzbu:
| Kod: | x^2 = 2x - 1 =>
x^2 - 2x + 1 = 0 =>
(x-1)^2 = 0 =>
x = 1 |
Mozes odmah napisati i:
| Kod: | x^2 = 2x - 1 =>
x = 1 |
ali to bas i nije tako ocito, ne? A kod tezih izraza je, naravno, jos gore...
| Anonymous (napisa): | evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna?
...
,pa pokratim te M-ove i imam …⇐eps/2+eps/2 i dakle …⇐eps i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|⇐eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!! |
Vidi ovako...
Imas dva niza. Uzmes proizvoljni epsilon i definiras:
epsilon1 = epsilon/(2*|V|)
epsilon2 = epsilon/(2*M)
Posto su nizovi a i b konvergentni, za te epsilone nadjes one n_0 i n_1, pa je n_2 veci od njih dvojice, itd. Zakljucak svega je da ti vrijedi
|a_n*b_n – L*V| ⇐ |V| * epsilon1 + M * epsilon2 = epsilon
Zanemari sto smo pokazali da je strogo manje; pokazujem ti kako bi se rijesili ovog "jednako" da smo stvarno dobili "manje ili jednako". 
Ok, sto bi sad bilo da si u formulu za epsilon1 i epsilon2 stavio epsilon/2 umjesto epsilon?
epsilon1 = (epsilon/2)/(2*|V|)
epsilon2 = (epsilon/2)/(2*M)
|a_n*b_n – L*V| ⇐ |V| * epsilon1 + M * epsilon2 = epsilon/2 < epsilon
Je l' sada jasnije? 
Ti ne trazis odnos izmedju "epsilonova od nizova a i b" i "epsilona od niza a*b", nego te samo zanima da li na nizu a*b vrijedi svojstvo da su "od nekog clana na dalje, svi elementi u epsilon okolini". A taj pocetni clan izaberes kako ti pase (dakle uzmes proizvoljnu okolinu od L i V)!
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 11:03 čet, 12. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti.[/quote]
Nema točnih i netočnih izrazâ (u mathu, that is. Fizika je druga stvar: ). Tek odnosi između izrazâ mogu biti točni ili netočni. Ako ja kažem "|a_n-L|" , to nije ni točno ni netočno. Ako kažem "|a_n-L|<eps", to još uvijek nije ni točno ni netočno, jer ovisi o nizu a , brojevima n , L i eps . No ako kažem nešto poput " za svaki L , ako za svaki eps>0 skoro svi a_n-ovi imaju svojstvo da je |a_n-L|<=eps , tada za svaki eps1>0 skoro svi a_n-ovi imaju svojstvo da je |a_n-L|<eps1 ", tada to može biti točno ili netočno, i u ovom slučaju je točno.
Jednostavniji primjer: neka su a i b neki izrazi. Ni a ni b nisu "točni" ni "netočni". Čak ni "a<b" nije ni točno ni netočno ako a i b ovise o tzv. slobodnim varijablama. No izjava (podrazumijevano univerzalno kvantificirana) "a<b & c>0 => ac<bc" je točna (istinita, bolje rečeno).
Ne moraju svi izrazi koje napišemo biti jednaki. Pogotovo ako trebamo konačno dokazati da je jedan izraz manji od drugoga. :-)
[quote][color=darkred]''…Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 …''[/color]
evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…<=|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''<=M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna?[/quote]
U mathu, sve je jasno kad se jednom objasni.;-) Čemu potreba za raspisivanjem dokaza Velikog Fermatovog teorema na 120 stranica? (Skombiniraj s onim što ti je vsego odgovorio.)
[quote]Taj izraz je samo izazvao problem:[/quote]
_Tebi_. Nismo svi jednaki. :-)
[quote][color=darkred]''…_U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M…''[/color]
,pa pokratim te M-ove i imam …<=eps/2+eps/2 i dakle …<=eps[/quote]
Preciznije, <eps/2+eps/2 i dakle <eps .
[quote] i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|<=eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!![/quote]
Da, ali isto tako piše _za svaki pozitivni epsilon_, a ti to uporno zanemaruješ.
| Anonymous (napisa): | moje mišljenje:
|a_n*b_n – L*V|=|a_n*b_n – a_n*V + a_n*V – L*V |⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|
⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon
Što smo uopće pisali izraz '' M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)'' ako on zapravo nije sasvim točan jer nemam brojeve ''epsilon/(2*M)'' i '' epsilon/(2*|V|)'' već brojeve takvog oblika_ali_ manjih vrijednosti. |
Nema točnih i netočnih izrazâ (u mathu, that is. Fizika je druga stvar: ). Tek odnosi između izrazâ mogu biti točni ili netočni. Ako ja kažem "|a_n-L|" , to nije ni točno ni netočno. Ako kažem "|a_n-L|<eps", to još uvijek nije ni točno ni netočno, jer ovisi o nizu a , brojevima n , L i eps . No ako kažem nešto poput " za svaki L , ako za svaki eps>0 skoro svi a_n-ovi imaju svojstvo da je |a_n-L|⇐eps , tada za svaki eps1>0 skoro svi a_n-ovi imaju svojstvo da je |a_n-L|<eps1 ", tada to može biti točno ili netočno, i u ovom slučaju je točno.
Jednostavniji primjer: neka su a i b neki izrazi. Ni a ni b nisu "točni" ni "netočni". Čak ni "a<b" nije ni točno ni netočno ako a i b ovise o tzv. slobodnim varijablama. No izjava (podrazumijevano univerzalno kvantificirana) "a<b & c>0 ⇒ ac<bc" je točna (istinita, bolje rečeno).
Ne moraju svi izrazi koje napišemo biti jednaki. Pogotovo ako trebamo konačno dokazati da je jedan izraz manji od drugoga.
| Citat: | ''…Hm. Kao prvo, koliko ja vidim, ovo će zaista biti strogo manje od epsilon uvijek, jer čak i ako je |a_n|=M,>0 , još uvijek će se pozitivan broj množiti s nečim (strogo) manjim od epsilon/(2*M) , pa će rezultat biti manji od epsilon/2 …''
evo,to što si rekao razumijem,pa ako smo zaključili sve iz izraza''…⇐|a_n|*|b_n – V| + |V|*|a_n – L|'' čemu onda potreba za dodavanjem izraza ''⇐M*epsilon/(2*M) + |V|*epsilon/(2*|V|)=epsilon '' ako nam je stvar jasna? |
U mathu, sve je jasno kad se jednom objasni. Čemu potreba za raspisivanjem dokaza Velikog Fermatovog teorema na 120 stranica? (Skombiniraj s onim što ti je vsego odgovorio.)
| Citat: | | Taj izraz je samo izazvao problem: |
_Tebi_. Nismo svi jednaki.
| Citat: | ''…_U izrazu_ M*eps/(2M) _smiješ_ pokratiti M sa M…''
,pa pokratim te M-ove i imam …⇐eps/2+eps/2 i dakle …⇐eps |
Preciznije, <eps/2+eps/2 i dakle <eps .
| Citat: | i time sam dobio:
|a_n*b_n – L*V|⇐eps ,a nigdje u definiciji konvergencije niza ne piše ''='' već stroga nejednakost !!! |
Da, ali isto tako piše _za svaki pozitivni epsilon_, a ti to uporno zanemaruješ.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 17:32 čet, 12. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"][quote="veky"]U mathu, sve je jasno kad se jednom objasni. Čemu potreba za raspisivanjem dokaza Velikog Fermatovog teorema na 120 stranica? (Skombiniraj s onim što ti je vsego odgovorio.)[/quote]
Ima li osobe koja razumije taj dokaz,120 stranica!!!!!! :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: [/quote]
Ima osobâ koje tvrde da ga razumiju. A mi ostali ih ne želimo provjeravati. ;-)
Ne, zbilja, sâm dokaz by Wiles je puno kraći... ovo 120 stranica je grubi estimate kad bi se unutra išlo utrpavat sve rezultate o eliptičkim krivuljama i sličnom, koji su, istina, vrijedni i sami za sebe, ali su mnogi od njih napravljeni s primarnom svrhom dokazivanja FLTa.
| Anonymous (napisa): | | veky (napisa): | | U mathu, sve je jasno kad se jednom objasni. Čemu potreba za raspisivanjem dokaza Velikog Fermatovog teorema na 120 stranica? (Skombiniraj s onim što ti je vsego odgovorio.) |
Ima li osobe koja razumije taj dokaz,120 stranica!!!!!! |
Ima osobâ koje tvrde da ga razumiju. A mi ostali ih ne želimo provjeravati.
Ne, zbilja, sâm dokaz by Wiles je puno kraći... ovo 120 stranica je grubi estimate kad bi se unutra išlo utrpavat sve rezultate o eliptičkim krivuljama i sličnom, koji su, istina, vrijedni i sami za sebe, ali su mnogi od njih napravljeni s primarnom svrhom dokazivanja FLTa.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
|
| [Vrh] |
|
|
