Jordanov oblik matrice (objasnjenje gradiva)

[tammy]

na vježbama smo riješili dva ovakva zadatka, i nije mi jasno uopće šta treba raditi.. pa jel ima neka dobra duša koja razumije?

npr. za matricu

[Gost]

Jordanov oblik radis kad zelis dijagonalizirati matricu.
Vrijedi: matrica se moze dijagonalizirati akko je geom. kratnost svojstvene vrijednosti jednaka algebarskoj.
Sad, ako one nisu jednake, moras izracunati i pridruzeni vektor.
Rjesavas jednadzbu (A-ßI)v2=v1, gdje je v2 pridruzeni svojstveni vektor kojeg trebas izracunati, v1, ß su svojstveni vektor i svojstvena vrijednost (ona kod koje se ne podudaraju geom. i alg. kratnost), A je pocetna matrica.
kad to izracunas poslozis svojstvene vektore i pridruzeni svojstveni vektor u stupce matrice (istim redom kojim si ih racunala) i dobijes matricu prijelaza P.
Vrijedi J= P^-1 x A x P, gdje je J Jordanov oblik.

Jel kuzis, il ti je lakse na primjeru? Mogu ga rijesit ak treba..

Za matrice reda 2, i 3, ako napravis malo vise primjera, vidjet ces da postoje i neke sablone:

[tammy]

malo mi je jasnije.. al jel možeš riješit primjer, ako nije problem?

[Ally]

Rjesavam svojstvenu zadacu:
1.) spektar- kad izracunam 3x3 determinantu dobim (ß-3)^2 x (ß-14), gdje je ß svojstvena vrijednost (lakse mi je to pisat umjesto lambda, jer to imam na tipkovnici, nadam se da nema zabune ), pa zakljucujem da je spektar ={ 3 , 14 }, gdje je a3=2, a14=1. Odmah se vidi i da je g14=1, ali g3 se jos mora izracunat.
2.) Odredivanje svojstvenog vektora za ß1=3:
Rjesavam jednadzbu (A-3I) i dobijem ovako: x1=t, x2=s, x3=-t-s;
pa svostveni vektor izgleda ovako: za npr. t=s=1: v1=(1, 0, -1) i
v2=(0, 1, -1). Tu se sad vidi da je g3=2.

Buduci da se sve geometrijske kratnosti podudaraju s algebarskim, matrica A se moze dijagonalizirati, pa zapravo, odmah znas kako dijagonalna matrica mora izgledati (na dijagonali svojstvene vrijednosti: 3, 3, 14, a ostalo su 0), al izracunat cu sve do kraja Jordanov postupak, za provjeru.

3.) Svojstveni vektor za ß2=14:
Rjesavam jednadzbu (A-14I) i rezultat je x1=2/3t, x2=t, x3=2t.
Za npr. t=3, svojstveni vektor v3=(2, 3, 6).

4.) Matricu prijelaza P dobijem kad svojstvene vektore v1, v2, v3 poslazem u stupce:
1 0 2
0 1 3
-1 -1 6

Preko P izracunam P^-1:
9/11 -2/11 -2/11
-3/11 8/11 -3/11
1/11 1/11 1/11

Sad iskoristim formulu J=P^-1 x A x P. Na kraju se dobije da Jordanova, odnosno, dijagonalna matrica izgleda ovako:
3 0 0
0 3 0
0 0 14

Nadam se da je jasno.
Sorry, sto je ovako malo zmrdano napisano, al ja pojma nemam kak se mogu onako lijepo pisati matrice..

_________________
I just wanna dance..

[jejo]

moze mi netko objasniti minimalni polinom na istoj toj matrici?

[lucika]

matrica iz gornjeg primjera ima 3 bloka pa je karakteristični polinom (a-3)^2 * (a-14), stavljam a umjesto lambda.
a pošto je minimalni polinom jordanove matrice jednak najmanjem višekratniku minimalnih polinoma njenih dijagonalnih blikova onda on izgleda ovako: (a-3)(a-14).

[tammy]

@Ally,

[Gost]

[Spectre]

Svaki od blokova koji sadrže 3 su jednodimenzionani, dakle najveća dimenzija je 1, te je minimalni polinom .

Da je , minimalni polinom morao bi izgledati ovako:



(blok je dimenzije 2, pa ta potencija ide u min. pol)

P.S. Jel moguće nekako obojati, podebljati ili ikako označiti određeni dio latex koda? Npr ovu spornu jedinicu u zadnjoj matrici?

_________________
Cry havoc, and let loose the dogs of war!