O djeljivosti brojeva (zadatak)

[StateOfConsciousness]

Zna li netko da li za svaki prirodni broj n postoje prirodni brojevi k(n) i l(n) takvi da n dijeli 10^k(n) (10^l(n) - 1),tj.broj koji počinje sa l(n) devetki a završava na k(n) nula? Unaprijed zahvalljujem na eventualnom odgovoru/ima.

[goc]

jeste postoje. pretpostavi da je n relativno prost s 10( to je da se rijesis ovog k(n) dijela). sad znas da je svaki broj 10^m relativno prost s n tada postoje m1 i m2 razliciti prirodni brojevi tako da 10^m1 i 10^m2 daju isti ostatak pri dijeljenju s n pa n|(10^(m2-m1))*(10^m1-1) a posto je 10^(m2-m1) relativno prost s n onda n|10^m1-1.
ako n nije relativno prost s 10 zapisi ga u obliku 2^a*5^b*n0 gdje je n0 relativno prost s 10 i primijeni isti trik za n0 da nadjes l(n), za k(n) samo stavis max(a,b). pogledaj ako nadjes na netu IMO 2004 u grckoj 6. zadatak pa ces nac dosta slicnosti..

[StateOfConsciousness]

A,ako se ne varam,dokaz vrijedi i ako se 10 zamijeni proizvoljnim prirodnim brojem,nije li? Svakako, triput hura za goca!