Vrlo raznolika rjesenja bila su na drugom zadatku ([url=http://web.math.hr/nastava/komb/pismeni/komb04-02-18.pdf]ovdje[/url]). Neka su stvarno lijepa i originalna. Izjasnite se koje vam se najvise svidja!
1. Lijeva strana je do na predznak jednaka broju surjekcija sa m-clanog u n-clani skup. U formuli dokazanoj na predavanjima treba iskoristiti simetricnost binomnih koeficijenata, promijeniti redoslijed sumacije i pomnoziti s (-1)^n. To je nula jer surjekcije ne postoje kad domena ima manje elemenata od kodomene. Autori: Petra Rkman i Vedran Rumenovic :navijacica: (meni je ovo najljepse)
2. Promotrimo lijevu stranu bez (-1)^k. Izmislit cemo objekte kojih ima tocno toliko i pokazati da ih ima jednako za parne i neparne k-ove. Neka je |S|=m, |T|=n. Objekti su parovi (K,f), gdje je K podskup od T, a f:S->K funkcija. Prebrojavamo na dva nacina: sumu dobijemo ako prvo biramo K, pa onda f. Drugi puta prvo biramo funkciju f:S->T, pa prosirujemo njezinu sliku na sve nacine do podskupa od T. Ocito Im(f) ima jednako mnogo nadskupova s parnim i neparnim brojem elemenata. Luda ideja je od Nesi :wacky: (uz malo Krckovo usminkavanje). Slicno je razmisljala Marija Zoldin (ali je malo manje raspisala).
3. Indukcija po m uz koristenje svojstva "apsorpcije" (jel se to tako zove?). To je bilo sluzbeno rjesenje. Jelena Poljak i Tomislav Beric (i mozda jos netko) elegantnije su izjednacili indekse k i k-1 (pomocu Pascalove formule) =D> Ja sam raspisao (k-1)^m po binomnom teoremu pa mi je trebala pretpostavka indukcije za sve eksponente manje od m.
4. Nekoliko studenata je islo indukcijom po n, ali nitko nije raspisao do kraja. Moglo se proci samo s Pascalovom formulom (bez apsorpcije).
5. Najljepsi dokaz pomocu deriviranja binomne formule ima Sinisa Milicic. On je m puta derivirao (1-x)^n bez mnozenja s x. S desne strane je raspisao k(k-1)(k-2)(k-m+1) i ubio nize potencije od k po pretpostavci indukcije.
6. Grdi dokaz ide tako da se m puta derivira i mnozi s x binomni razvoj (1-x)^n. S lijeve strane se dobije gnjusoba koja je jednaka 0 kad se uvrsti x=1. Nisam davao sve bodove bez pravog objasnjenja zasto je tako. Koliko se sjecam jedino je Leo Boroje posteno objasnio (drugi su uglavnom raspisali za nekoliko m-ova i rekli "analogno dalje").
Vrlo raznolika rjesenja bila su na drugom zadatku (ovdje). Neka su stvarno lijepa i originalna. Izjasnite se koje vam se najvise svidja!
1. Lijeva strana je do na predznak jednaka broju surjekcija sa m-clanog u n-clani skup. U formuli dokazanoj na predavanjima treba iskoristiti simetricnost binomnih koeficijenata, promijeniti redoslijed sumacije i pomnoziti s (-1)^n. To je nula jer surjekcije ne postoje kad domena ima manje elemenata od kodomene. Autori: Petra Rkman i Vedran Rumenovic 
(meni je ovo najljepse)
2. Promotrimo lijevu stranu bez (-1)^k. Izmislit cemo objekte kojih ima tocno toliko i pokazati da ih ima jednako za parne i neparne k-ove. Neka je |S|=m, |T|=n. Objekti su parovi (K,f), gdje je K podskup od T, a f:S→K funkcija. Prebrojavamo na dva nacina: sumu dobijemo ako prvo biramo K, pa onda f. Drugi puta prvo biramo funkciju f:S→T, pa prosirujemo njezinu sliku na sve nacine do podskupa od T. Ocito Im(f) ima jednako mnogo nadskupova s parnim i neparnim brojem elemenata. Luda ideja je od Nesi 
(uz malo Krckovo usminkavanje). Slicno je razmisljala Marija Zoldin (ali je malo manje raspisala).
3. Indukcija po m uz koristenje svojstva "apsorpcije" (jel se to tako zove?). To je bilo sluzbeno rjesenje. Jelena Poljak i Tomislav Beric (i mozda jos netko) elegantnije su izjednacili indekse k i k-1 (pomocu Pascalove formule) 
Ja sam raspisao (k-1)^m po binomnom teoremu pa mi je trebala pretpostavka indukcije za sve eksponente manje od m.
4. Nekoliko studenata je islo indukcijom po n, ali nitko nije raspisao do kraja. Moglo se proci samo s Pascalovom formulom (bez apsorpcije).
5. Najljepsi dokaz pomocu deriviranja binomne formule ima Sinisa Milicic. On je m puta derivirao (1-x)^n bez mnozenja s x. S desne strane je raspisao k(k-1)(k-2)(k-m+1) i ubio nize potencije od k po pretpostavci indukcije.
6. Grdi dokaz ide tako da se m puta derivira i mnozi s x binomni razvoj (1-x)^n. S lijeve strane se dobije gnjusoba koja je jednaka 0 kad se uvrsti x=1. Nisam davao sve bodove bez pravog objasnjenja zasto je tako. Koliko se sjecam jedino je Leo Boroje posteno objasnio (drugi su uglavnom raspisali za nekoliko m-ova i rekli "analogno dalje").
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
