[quote="frikmen2"]Traženi skup je očito podskup skupa svih nizova prirodnih brojeva...
[/quote]
... dakle, ima ih najvise [b]c[/b].
Drugi dio je malo tricky.
Promotrimo skup [latex]\mathcal{B}=\{X \subseteq \mathbb{N} \mid \mathop{\mathrm{card}} X = \aleph_0\}[/latex] tj. skup svih beskonacnih podskupova prirodnih brojeva.
Lagano je uspstaviti injekciju s [latex]\mathcal{B}[/latex] u skup svih injektivnih nizova s [latex]\mathbb{N}[/latex] u [latex]\mathbb{N}[/latex] (oznacimo ga [latex]\mathrm{Inj}(\mathbb{N}))[/latex].
Svakom skupu [latex]X\in\mathcal{B}[/latex] pridruzimo injektivni niz [latex]a_X \in\mathrm{Inj}(\mathbb{N})[/latex] ovako:
[latex]\begin{cases}
a_X(0) = \min X \\
a_X(n+1) = \min (X \setminus \{a_X(0),\ldots,a_X(n)\}
\end{cases}[/latex]
Imamo: [latex]\mathop{\mathrm{card}}\mathrm{Inj}(\mathbb{N}) \geqslant \mathop{\mathrm{card}}\mathcal{B}[/latex].
Nadalje, [latex]\mathcal{B}=\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\mathcal{K}[/latex], gdje je [latex]\mathcal{K}[/latex] skup svih konacnih podskupova skupa prirodnih brojeva.
Lako je vidjeti da je [latex]\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{K}=\aleph_0[/latex], pa prema propoziciji 1.32 iz [url=http://web.math.hr/%7Evukovic/TS_skripta_2005.pdf]skripte[/url] zakljucujemo da je [latex]\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{B}=\mathop{\mathrm{card}}\mathcal{P}(\mathbb{N}) = \mathbf{c}[/latex].
Sada po Cantor-Schroeder-Bernsteinovom teoremu slijedi da je [latex]\mathop{\mathrm{card}}\mathrm{Inj}(\mathbb{N})=\mathbf{c}[/latex]
... dakle, ima ih najvise c.
Drugi dio je malo tricky.
Promotrimo skup 
tj. skup svih beskonacnih podskupova prirodnih brojeva.
Lagano je uspstaviti injekciju s 
u skup svih injektivnih nizova s 
u (oznacimo ga 
.
Svakom skupu 
pridruzimo injektivni niz 
ovako:
Imamo: 
.
Nadalje, 
, gdje je 
skup svih konacnih podskupova skupa prirodnih brojeva.
Lako je vidjeti da je 
, pa prema propoziciji 1.32 iz skripte zakljucujemo da je 
.
Sada po Cantor-Schroeder-Bernsteinovom teoremu slijedi da je 
_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
