| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
 Postano: 21:27 sub, 21. 2. 2004 Naslov: Re: Specijalni limesi! |
    |
|
|
[quote="Anonymous"]Može pojašnjenje što je limes superior i što je limes inferior.Definicije nemam. :roll:[/quote]
Limes superior i limes inferior (niza) zapravo nisu generalizirani limesi (iako, ako su jednaki, tada je niz konvergentan, s tim limesom), već generalizirani supremum i infimum. Heuristički, to su infimum i supremum "u beskonačnosti", odnosno za njih nije bitno prvih par članova niza. Malo preciznije, limes inferior/superior (ograničenog) niza je najmanji/najveći limes nekog podniza tog niza. Još preciznije,
lim inf_n a_n:=sup{inf{a_k:k>n}:n@|N} ,
lim sup_n a_n:=inf{sup{a_k:k>n}:n@|N} .
Primjeri: niz je (zadan s) (-1)^n . Svi parcijalni infimumi u definiciji lim inf (dakle, od nekog člana nadalje) su -1 (od svakog nadalje postoji bar jedna minusjedinica), pa je i njihov supremum, lim inf danog niza, jednak -1 . Analogno, lim sup tog niza je 1 .
Niz je 1,1,2,1,3,1,4,1,.... . Parcijalni infimumi su svi jednaki 1 , pa je lim inf jednak 1 . Parcijalni supremumi ne postoje (od bilo kojeg člana nadalje niz je neograničen), pa ni lim sup ne postoji (u |R ... u |R^potez se može reći da je +oo ).
Niz je 1/n . Parcijalni infimumi su svi jednaki 0 (npr. inf{1/5,1/6,1/7,....}=0 ), pa je lim inf=0 . Parcijalni supremumi su od svakog člana nadalje jednaki upravo tom članu (jer je niz padajući, pa su supremumi zapravo maksimumi), dakle su 1,1/2,1/3,.... . Njihov infimum je 0 , dakle lim sup_n 1/n=0 . Ovdje su lim inf i lim sup jednaki, pa možemo zaključiti da je niz konvergentan i limes mu je 0 (što smo znali i prije: ).
Niz je -5,5,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,.... . Od trećeg člana nadalje niz je isti kao i u prvom primjeru, pa mu je lim inf jednak -1 , a lim sup jednak 1 (primijeti da mu je "obični" inf jednak -5 , a "obični" sup jednak 5 ).
HTH,
| Anonymous (napisa): | Može pojašnjenje što je limes superior i što je limes inferior.Definicije nemam.  |
Limes superior i limes inferior (niza) zapravo nisu generalizirani limesi (iako, ako su jednaki, tada je niz konvergentan, s tim limesom), već generalizirani supremum i infimum. Heuristički, to su infimum i supremum "u beskonačnosti", odnosno za njih nije bitno prvih par članova niza. Malo preciznije, limes inferior/superior (ograničenog) niza je najmanji/najveći limes nekog podniza tog niza. Još preciznije,
lim inf_n a_n:=sup{inf{a_k:k>n}:n@|N} ,
lim sup_n a_n:=inf{sup{a_k:k>n}:n@|N} .
Primjeri: niz je (zadan s) (-1)^n . Svi parcijalni infimumi u definiciji lim inf (dakle, od nekog člana nadalje) su -1 (od svakog nadalje postoji bar jedna minusjedinica), pa je i njihov supremum, lim inf danog niza, jednak -1 . Analogno, lim sup tog niza je 1 .
Niz je 1,1,2,1,3,1,4,1,.... . Parcijalni infimumi su svi jednaki 1 , pa je lim inf jednak 1 . Parcijalni supremumi ne postoje (od bilo kojeg člana nadalje niz je neograničen), pa ni lim sup ne postoji (u |R ... u |R^potez se može reći da je +oo ).
Niz je 1/n . Parcijalni infimumi su svi jednaki 0 (npr. inf{1/5,1/6,1/7,....}=0 ), pa je lim inf=0 . Parcijalni supremumi su od svakog člana nadalje jednaki upravo tom članu (jer je niz padajući, pa su supremumi zapravo maksimumi), dakle su 1,1/2,1/3,.... . Njihov infimum je 0 , dakle lim sup_n 1/n=0 . Ovdje su lim inf i lim sup jednaki, pa možemo zaključiti da je niz konvergentan i limes mu je 0 (što smo znali i prije: ).
Niz je -5,5,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,.... . Od trećeg člana nadalje niz je isti kao i u prvom primjeru, pa mu je lim inf jednak -1 , a lim sup jednak 1 (primijeti da mu je "obični" inf jednak -5 , a "obični" sup jednak 5 ).
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 22:20 sub, 21. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
Laicki, limes superior je "najvece" gomiliste niza. 8) Treba biti oprezan s ovim [i]"najvece" gomiliste[/i], jer skup gomilista ne mora nuzno biti konacan. Preciznije bi bilo reci da je limes superior supremum skupa svih gomilista niza. 8)
Dakle, slusaj Vekyja; ovo moje je samo da pomogne u shvacanju, nikako ne za koristiti. ;)
Ponesto mozes naci [url=http://www.google.com/search?q=limes+superior+definition]ovdje[/url]. :) Prvi link (ako znas njemacki) ili njegov "[i]Translate[/i]" (za los engleski). :)
Lijepo raspisano (na engleskom) imas u [url=http://maths.dur.ac.uk/~dma0wh/anumber/limsup.pdf]ovom PDF fileu[/url] (53kB).
Laicki, limes superior je "najvece" gomiliste niza.  Treba biti oprezan s ovim "najvece" gomiliste, jer skup gomilista ne mora nuzno biti konacan. Preciznije bi bilo reci da je limes superior supremum skupa svih gomilista niza.
Dakle, slusaj Vekyja; ovo moje je samo da pomogne u shvacanju, nikako ne za koristiti. 
Ponesto mozes naci ovdje.  Prvi link (ako znas njemacki) ili njegov "Translate" (za los engleski).
Lijepo raspisano (na engleskom) imas u ovom PDF fileu (53kB).
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 23:11 sub, 21. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]btw,jel fin portirev špekec :lol: :lol: :lol: :wink:[/quote]
Zakon! 8) Ljubomoran? :P
Da kompozicija nije komutativna dokazes trivijalno - primjerom: f(x) = 1, g(x) = 2
f(g(x)) = f(2) = 1, g(f(x)) = g(1) = 2. :D
Asocijativnost: neka su f, g, h funkcije (s domenama i kodomenama takvima da sve dalje odgovara 8)). Tada je:
((f o g) o h) (x) = (f o g)(h(x)) = f(g(h(x)) = f((g o h)(x)) = (f o (g o h)) (x), naravno, za svaki x iz domene. 8)
| Anonymous (napisa): | btw,jel fin portirev špekec  |
Zakon! Ljubomoran? 
Da kompozicija nije komutativna dokazes trivijalno - primjerom: f(x) = 1, g(x) = 2
f(g(x)) = f(2) = 1, g(f(x)) = g(1) = 2. 
Asocijativnost: neka su f, g, h funkcije (s domenama i kodomenama takvima da sve dalje odgovara ). Tada je:
((f o g) o h) (x) = (f o g)(h(x)) = f(g(h(x)) = f((g o h)(x)) = (f o (g o h)) (x), naravno, za svaki x iz domene.
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 0:20 ned, 22. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="vsego"]Laicki, limes superior je "najvece" gomiliste niza. 8) Treba biti oprezan s ovim [i]"najvece" gomiliste[/i], jer skup gomilista ne mora nuzno biti konacan. Preciznije bi bilo reci da je limes superior supremum skupa svih gomilista niza. 8)
Dakle, slusaj Vekyja; ovo moje je samo da pomogne u shvacanju, nikako ne za koristiti. ;)[/quote]
(-: Fora je u tome da si u pravu više nego što misliš... ;-)
((a tako nešto sam i ja rekao, uzevši u obzir da je gomilište zapravo limes podniza))
Naime, zaista jest _najveće_ gomilište (osim kad skup gomilišta nije ograničen, što se tiče |R-a ), jer je supremum zapravo maksimum. Neka je npr. L limes superior. Tad za svaki m@|N , za eps:=1/m imam podniz (a_n(k,m))_k , takav da mu je limes (označimo ga s L_m ) veći od L-1/m (i manji od L , jer L je supremum gomilištâ). Sad, svaki od tih nizova (nizovi su po k , familija nizova je po m ), za svaki eps pa i za eps_m:=1/m (isti), ima prirodni broj k0_m takav da za sve k>k0_m vrijedi |a_n(k,m)-L_m|<1/m . Specijalno, vrijedi k>k0_m => a_n(k,m)>L_m-1/m>(L-1/m)-1/m=L-2/m . (Također, a_n(k,m)<L_m+1/m<L+1/m<L+2/m , odnosno |a_n(k,m)-L|<2/m za k>k0_m (*) .)
Sad konstruiramo rastući niz prirodnih brojeva (r_s)_s , ovako:
r_0:=k0_1 , r_{s+1}:=1+max{n(r_s,s),k0_{s+1} } . Prvo, jer je (a_n(k,m))_k podniz od (a_n)_n , (n(k,m))_k je strogo rastući niz prirodnih brojeva, pa je n(k,m)>=k . Specijalno, r_{s+1}>=1+n(r_s,s)>n(r_s,s)>r_s , pa je (r_s)_s također strogo rastući niz u |N . Drugo, ako označimo p_s:=n(r_s,s) , vidimo da je r_{s+1}=1+max{p_s,k0_{s+1} } , a također i p_s>=r_s . Dakle, p_{s+1}>=r_{s+1}>max{p_s,k0_{s+1} }>=p_s , pa je i (p_s)_s strogo rastući niz prirodnih brojeva. I treće, budući da je r_s>=1+k0_s>k0_s , po [ * ] (za m:=s , k:=r_s ) vrijedi |a_n(r_s,s)-L|<2/s , odnosno |a_p_s-L|<2/s za svaki s . To znači da podniz (a_p_s)_s konvergira k L (sendvič).
Jupi. Dakle, L je također limes nekog podniza, pa je gomilište. Nema većeg od njega (jer je supremum), pa je to zaista najveće gomilište.
Hjuh. :-) HTH,
| vsego (napisa): | Laicki, limes superior je "najvece" gomiliste niza. Treba biti oprezan s ovim "najvece" gomiliste, jer skup gomilista ne mora nuzno biti konacan. Preciznije bi bilo reci da je limes superior supremum skupa svih gomilista niza.
Dakle, slusaj Vekyja; ovo moje je samo da pomogne u shvacanju, nikako ne za koristiti. |
(-: Fora je u tome da si u pravu više nego što misliš...
((a tako nešto sam i ja rekao, uzevši u obzir da je gomilište zapravo limes podniza))
Naime, zaista jest _najveće_ gomilište (osim kad skup gomilišta nije ograničen, što se tiče |R-a ), jer je supremum zapravo maksimum. Neka je npr. L limes superior. Tad za svaki m@|N , za eps:=1/m imam podniz (a_n(k,m))_k , takav da mu je limes (označimo ga s L_m ) veći od L-1/m (i manji od L , jer L je supremum gomilištâ). Sad, svaki od tih nizova (nizovi su po k , familija nizova je po m ), za svaki eps pa i za eps_m:=1/m (isti), ima prirodni broj k0_m takav da za sve k>k0_m vrijedi |a_n(k,m)-L_m|<1/m . Specijalno, vrijedi k>k0_m ⇒ a_n(k,m)>L_m-1/m>(L-1/m)-1/m=L-2/m . (Također, a_n(k,m)<L_m+1/m<L+1/m<L+2/m , odnosno |a_n(k,m)-L|<2/m za k>k0_m (*) .)
Sad konstruiramo rastući niz prirodnih brojeva (r_s)_s , ovako:
r_0:=k0_1 , r_{s+1}:=1+max{n(r_s,s),k0_{s+1} } . Prvo, jer je (a_n(k,m))_k podniz od (a_n)_n , (n(k,m))_k je strogo rastući niz prirodnih brojeva, pa je n(k,m)>=k . Specijalno, r_{s+1}>=1+n(r_s,s)>n(r_s,s)>r_s , pa je (r_s)_s također strogo rastući niz u |N . Drugo, ako označimo p_s:=n(r_s,s) , vidimo da je r_{s+1}=1+max{p_s,k0_{s+1} } , a također i p_s>=r_s . Dakle, p_{s+1}>=r_{s+1}>max{p_s,k0_{s+1} }>=p_s , pa je i (p_s)_s strogo rastući niz prirodnih brojeva. I treće, budući da je r_s>=1+k0_s>k0_s , po [ * ] (za m:=s , k:=r_s ) vrijedi |a_n(r_s,s)-L|<2/s , odnosno |a_p_s-L|<2/s za svaki s . To znači da podniz (a_p_s)_s konvergira k L (sendvič).
Jupi. Dakle, L je također limes nekog podniza, pa je gomilište. Nema većeg od njega (jer je supremum), pa je to zaista najveće gomilište.
Hjuh. HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 0:32 ned, 22. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"][quote]Zakon! Ljubomoran? [/quote]
naprotiv,sam' ti uživaj...al' čuvaj prstiće,sjekira nije zanemariva ma koliko on šutio o tome :evilbat:[/quote]
To cu rijesiti kao i nas lik iz [url=http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=1111]price u nastavcima[/url]. 8)
[quote="Anonymous"]fala na dokazima![/quote]
Sluzimo nar... :oops: Ovaj... Nema problema, kolega! 8) ;)
[quote="veky"]Fora je u tome da si u pravu više nego što misliš...[/quote]
To mi je jasno, ali ako se netko pozove na takvu tvrdnju, treba ju znati i dokazati, pa stvar ispadne kompliciranija od obicne definicije. :) Zato sam napisao da "nije za koristiti". ;)
- Kolega, sto je to limes superior?
- To je supremum skupa svih gomislista niza.
- Znate li to dokazati?
- :???: :-s Paaa... ovaj... pise na tamo nekom cudnom forumu... :?
- Zao mi je, kolega, ali to bas i nije korektan dokaz. Spremite to malo bolje za drugi put...
- :bigcry: :2gunfire: vsego
To bi bilo nezgodno, ne? ;)
| Anonymous (napisa): | | Citat: | | Zakon! Ljubomoran? |
naprotiv,sam' ti uživaj...al' čuvaj prstiće,sjekira nije zanemariva ma koliko on šutio o tome  |
To cu rijesiti kao i nas lik iz price u nastavcima.
| Anonymous (napisa): | | fala na dokazima! |
Sluzimo nar...  Ovaj... Nema problema, kolega!
| veky (napisa): | | Fora je u tome da si u pravu više nego što misliš... |
To mi je jasno, ali ako se netko pozove na takvu tvrdnju, treba ju znati i dokazati, pa stvar ispadne kompliciranija od obicne definicije. Zato sam napisao da "nije za koristiti".
- Kolega, sto je to limes superior?
- To je supremum skupa svih gomislista niza.
- Znate li to dokazati?
-   Paaa... ovaj... pise na tamo nekom cudnom forumu... 
- Zao mi je, kolega, ali to bas i nije korektan dokaz. Spremite to malo bolje za drugi put...
-   vsego
To bi bilo nezgodno, ne?
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
|
