|
[quote="Anonymous"]Kako se nalazi baza za anihilator nekog skupa?
Zanima me, dakle, METODA.
Npr. M={(1,2,-3,1),(0,1,4,-1)}.
Je li moguće odrediti bazu za anihilator skupa ako znamo bazu od M?[/quote]
Nema potrebe znati bazu od M . M uopće ne mora biti potprostor - npr. gore je M samo dvočlani skup. No ako je potprostor, tada se isplati restringirati samo na gledanje baze - i tad sve ovo dolje napisano vrijedi.
[quote]Npr. baza je {(1,0,-1/2,1/2),(0,1,1/4,1/4)}.[/quote]
Khm... mislim da ovo nije baza za anihilator od M . Naime, funkcional (1,0,-1/2,1/2) ne poništava (0,1,4,-1) .
[quote]Hvala puno.[/quote]
Anihilator (u ovom značenju u kojem ga ti koristiš) je neki prostor linearnih funkcionala, odnosno potprostor dualnog prostora od onog u kojem su ti zadani početni vektori (kod tebe |R^4 , valjda). Definiran je tako da su u njemu točno oni funkcionali koji poništavaju sve dane vektore. U ovom slučaju npr., M^anih={f@|(R^4)^dual:f(1,2,-3,1)=f(0,1,4,-1)=0} . Znamo da je f zadan djelovanjem na bazi, a na svakom vektoru baze poprima jedan broj, pa je zadan s 4 broja. Znači, možemo ga pisati kao uređenu četvorku, ali taj zapis bi bilo dobro razlikovati od zapisa vektora iz |R^4 . Ipak, u slučaju realnog konačnodimenzionalnog prostora (kao što je |R^4 ), postoje i neke prednosti poistovjećivanja tih zapisâ: ako je f zadan s (a1,a2,a3,a4) , to znači da preslikava ei|->ai . Nek je x=(b1,b2,b3,b4)=sum b_i*e_i . f(x) je tada f(sum b_i*e_i)=sum f(b_i*e_i)=sum b_i*f(e_i)=sum b_i*a_i , što možemo lukavo zapisati kao "skalarni produkt" funkcionala f i vektora x . Zato se ponekad u starijim knjigama f(x) nađe zapisan kao <f|x> .
No vratimo se na temu. Tražim f=~(x1,x2,x3,x4) , takav da f(v1)=f(v2)=0 . Svaki od tih uvjeta je jedna homogena linearna jednadžba na x1..4 . Zajedno je sustav
x1+2x2-3x3+x4=0
x2+4x3-x4=0
koji ima rješenje (koje valjda znaš odrediti)
x1=11s-3t , x2=-4s+t , x3=s , x4=t .
Odnosno, f=~(11s-3t,-4s+t,s,t)=s*(11,-4,1,0)+t*(-3,1,0,1) .
Prikazali smo f kao linearnu kombinaciju dva funkcionala s porizvoljnim realnim parametrima. Oni su očito nezavisni, pa čine bazu za prostor od kojeg smo krenuli, M^anih .
HTH,
| Anonymous (napisa): | Kako se nalazi baza za anihilator nekog skupa?
Zanima me, dakle, METODA.
Npr. M={(1,2,-3,1),(0,1,4,-1)}.
Je li moguće odrediti bazu za anihilator skupa ako znamo bazu od M? |
Nema potrebe znati bazu od M . M uopće ne mora biti potprostor - npr. gore je M samo dvočlani skup. No ako je potprostor, tada se isplati restringirati samo na gledanje baze - i tad sve ovo dolje napisano vrijedi.
| Citat: | | Npr. baza je {(1,0,-1/2,1/2),(0,1,1/4,1/4)}. |
Khm... mislim da ovo nije baza za anihilator od M . Naime, funkcional (1,0,-1/2,1/2) ne poništava (0,1,4,-1) .
Anihilator (u ovom značenju u kojem ga ti koristiš) je neki prostor linearnih funkcionala, odnosno potprostor dualnog prostora od onog u kojem su ti zadani početni vektori (kod tebe |R^4 , valjda). Definiran je tako da su u njemu točno oni funkcionali koji poništavaju sve dane vektore. U ovom slučaju npr., M^anih={f@|(R^4)^dual:f(1,2,-3,1)=f(0,1,4,-1)=0} . Znamo da je f zadan djelovanjem na bazi, a na svakom vektoru baze poprima jedan broj, pa je zadan s 4 broja. Znači, možemo ga pisati kao uređenu četvorku, ali taj zapis bi bilo dobro razlikovati od zapisa vektora iz |R^4 . Ipak, u slučaju realnog konačnodimenzionalnog prostora (kao što je |R^4 ), postoje i neke prednosti poistovjećivanja tih zapisâ: ako je f zadan s (a1,a2,a3,a4) , to znači da preslikava ei|→ai . Nek je x=(b1,b2,b3,b4)=sum b_i*e_i . f(x) je tada f(sum b_i*e_i)=sum f(b_i*e_i)=sum b_i*f(e_i)=sum b_i*a_i , što možemo lukavo zapisati kao "skalarni produkt" funkcionala f i vektora x . Zato se ponekad u starijim knjigama f(x) nađe zapisan kao <f|x> .
No vratimo se na temu. Tražim f=~(x1,x2,x3,x4) , takav da f(v1)=f(v2)=0 . Svaki od tih uvjeta je jedna homogena linearna jednadžba na x1..4 . Zajedno je sustav
x1+2x2-3x3+x4=0
x2+4x3-x4=0
koji ima rješenje (koje valjda znaš odrediti)
x1=11s-3t , x2=-4s+t , x3=s , x4=t .
Odnosno, f=~(11s-3t,-4s+t,s,t)=s*(11,-4,1,0)+t*(-3,1,0,1) .
Prikazali smo f kao linearnu kombinaciju dva funkcionala s porizvoljnim realnim parametrima. Oni su očito nezavisni, pa čine bazu za prostor od kojeg smo krenuli, M^anih .
HTH,
|
