zad:

[davor]

f i g realne funkcije realne varijable, periodicne, s istim temeljnim periodom i vrijedi da limes njihove razlike tezi k 0 kada x tezi k +beskonacno. Dokazite da je f=g.

[C'Tebo]

Ovako od oka:
Lim f(x)=0,x→beskonacno
Znaci za svaki e>0 postoji n iz skupa prirodnih brojeva, takav da za svaki x>n vrijedi Abs[f(x)]<e.

Kako je k period funkcije f vrijedi i
x+k>x>n i Abs[f(x+k)]=Abs[f(x)]<e.

No isto tako to vrijedi i za x-eve između x i x+k (nazovimo ga x1)

x+k>x1>x>n i Abs[f(x1)]=Abs[f(x1+k)]<e

Malo sam se zapetljo. Kako taj Abs[f(x1)] mora biti manje od svakog e, a funkcijske vrijednosti se ponavljaju, znači uvijek ćemo moći naći x2 t.d. f(x2)>e, osim ako je f(x)=0, za svaki x.

Dakle f=g.

Kao što rekoh, malo sam se zapetljo, ali valjda je to to (u grubim crtama)

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!

[C'Tebo]

Hm da bude malo jasnije:
u prethodnom postu nemojte gledat f čitat ko f nego ko h=f-g.

Tada je jasnije.

još sitnica:
h(x)=f(x)-g(x)=f(x+k)-g(x+k)=h(x+k), dakle h je periodična.

_________________
Click me!
_______________________
Bad panda!