rijesenja kolokvija 07/08

[mycky1111]

rjesavam ove proslogodisnnje kolokvije i neke stvari ne znam, neke napisem a nisam sigurna da su tocne, pa ako je netko rjesavao, neka napise barem rezultate,(postupak ce trebat ako ne skontam ) od 5,6,8,9,10 zadatka.

[markotron]

A od kojeg proslogodisnjeg kolokvija? Ima ih četiri

Added after 29 minutes:

Evo odgovori (neznam dal su tocni na brzinu sam to rjesavao) prvog kolokvija iz te godine:

5) A presjek B je podskup od A unija B presjek A unija C
6) NE (skoro svaki primjer ce ti biti kontraprimjer jer ako malo bolje pogledas u implikaciju vidjet ces da nema smisla sta pise: nemoze neki podskup od A istovremeno biti i podskup od B i podskup od B komplement)
Refleksivnost: NE - 1 nije u relaciji sa 1
Antisimetričnost: DA - (ako je 1 u relaciji sa 2 i 2 u relaciji sa 1 slijedi da je 1 = 2) pošto 2 nije u relaciji sa 1 pretpostavka je kriva pa laž povlaći bilo što - implikacija je istinita.
Tranzitivnost: DA 1 je u relaciji sa 2, 2 je u relaciji sa 3 slijedi da je 1 u relaciji sa 3.. itd za sve.
Ta relacija nije relacija uređaja jer ne vrijedi refleksivnost. (Ako se ne varam da bi relacija bila relacija uređaja mora vrijediti: refleksivnost, tranzitivnost, antisimetričnost i linearnost)
9) Refleksivnost: NE, 36 nije u relaciji sa 36
Simetričnost: DA (zbog komutativnosti zbrajanja)
Tranzitivnost: NE, 36 je u relaciji sa 90, 90 je u relaciji sa 36 ali 36 nije u relaciji sa 36.
Antisimetričnost: NE isti primjer ko i za tranzitivnost: 36 nije jednako 90.
10) a je u relaciji sa b ako i samo ako a i b daju isti ostatak pri djeljenju sa 5 (kongruencije).. ako gledas tu relaciju na taj nacin... onda ju je trivijalno prisirati na cijeli skup N unija 0.

Nadam se da sam pomogao.

_________________
reductio ad absurdum

[Anna Lee]

u 8. zadatku nije tranzitivnost jer bi za to trebalo bit dano i (4,4).

[markotron]

zasto treba 4 biti u relaciji sa 4?

_________________
reductio ad absurdum

[ddduuu]

markotron, kako bi 10 zadatak napisa matematicki pravilno.. razumin sta zelis rec ali neman pojma kako bi to tribalo njima napisat..

Added after 2 minutes:

e da,i ako neko moze objasnit zadatak sa vjezbi. n/2<1+1/2+...+1/(2^n-1)<n...

[markotron]

10. zadatak pravilno:

recimo neka se relacija zove ro:

relacija na skupu S:

ro = {(a, b) element od S × S | (a kongruensto b) mod 5}

proširena na N:

ro = {(a, b) element od N0 × N0 | (a kongruensto b) mod 5}

N0 - N unija 0.

_________________
reductio ad absurdum

[ddduuu]

hvala:)

[Gino]

evo jednostavnije rjesenje za 10.

[ddduuu]

ako neko moze objasnit zadatak sa vjezbi. n/2<1+1/2+...+1/(2^n-1)<n...

[markotron]

nije najednostavnije objasnit ovako preko foruma...
Da pokušam:
baza i pretpostavka je valjda jasna.. pa idem odmah na korak. (nemoj to ni slucajno na kolokciju napravit )

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(2^n-1) .. e sad trebas dodat n + 1.. tu je problem u tome sto između 1/(2^n-1) i 1/(2^(n+1)-1) nije samo jedan clan. Nego ih ima točno 2^n. Ima ih 2^n zato sto je: (2^(n+1)-1)-(2^n-1) = 2^n.
To su sljedeci clanovi:

1/2^n, 1/2^n +1, 1/2^n +2.... do 1/(2^(n+1)-1)

E sad. Svaki od tih dodanih članova (a ima ih 2^n) je manji ili jednak od 1/2^n. Ocito je da je 1/2^n jednak 1/2^n, a svaki sljedeci (npr. 1/2^n +1 je manji od 1/2^n) i očito je da je svaki od tih članova veći od 1/(2^(n+1)).

Po pretpostavci ovo vrijedi:

n/2<1+1/2+...+1/(2^n-1)<n

sada kada dodjas i sve nove clanove.. da bi nejednakost bila ocuvana moras dodat i sa lijeve strane i sa desne strane ono sto znas da vrijedi. a to je ono sto sam gore naveo (i posto clanova ima 2^n moras dodat 2^n puta)

Sada imamo:

n/2 + {(2^n)/2^(n+1)} < 1+1/2+...+1/(2^n-1) + {1/2^n + 1/2^n+1 + 1/2^n+2 + .... + 1/(2^(n+1)-1)} < n + {2^n/2^n}

u viticaste zagrade sam istaknuo nove clanove i ono sto smo dodali da bi nejednakost bila ocuvana. Nemoj da te to zbuni.

i sada iz toga direktno slijedi:

(n+1)/2 < 1+1/2+...+1/(2^(n+1)-1)} < n + 1

Nadam se da sam ti bar malo uspio razjasniti..

E da.. zaboravio sam.

Po principu matematičke indukcije tvrdnja vrijedi za svaki n veći ili jednak 2!

_________________
reductio ad absurdum

[Gino]

[mycky1111]

[Gino]

ne treba... tranzitivna je

[mycky1111]

jel za tranzitivnost svi elementi moraju nekako bit tranzitivni ili samo oni koji arob i broc. znam da zvuci glupo, mislim da ne treba, ali me buni Anna Lee.

[Atomised]

Relacija je tranzitivna, ne elementi.

Ako je A veće od B i B veće od C, onda je A veće od C, na to se svodi tranzitivnost.

[Gino]

[mycky1111]

e pa to sam pitala. znaci, dok god tranzitivnost nije porusena nekim primjerom, ona vrijedi. hvala!!!!

[Atomised]

[mycky1111]

puuuno vam hvala!puuuuno! sad mogu mirnija ici na kolokvij.