Propozicija o broju deranžmana n-članog skupa

[RonnieColeman]

U dokazu s predavanja:
...
Obrnuto, za pi' iz Dn-1 možemo definirati pi iz B kao:

pi(k) =

pi'(k), za k != i, k = 1, ..., n-1
i, za k = n
n, za k = i

Razuvjerite me ako griješim ali čini mi se da deranžman pi tako definiran ne pripada skupu B jer skup B ne-i element preslikava u n, a po ovoj definiciji deranžmana pi i-ti element se preslikva u n, a takvi deranžmani pripadaju skupu A, nikako skupu B.

Stoga mislim da bi se pi trebao definirati ovako:

pi(k) =

pi'(k), za k != j, k = 1, ..., n-1
i, za k = n
n, za k = j

_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.

[krcko]

...pri cemu je j element sa svojstvom pi'(j)=i. Meni tako pise na papirima, mozda sam krivo napisao na ploci.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[RonnieColeman]

[krcko]

OK, ajmo rascistiti. Od deranzmana pi' iz D_(n-1) zelimo napraviti pi iz D_n sa svojstvom pi(n)=i, pi(i)!=n (za fiksni i). Skup svih takvih pi-ova smo oznacili B.

To mozemo tako da definiramo pi(k)=pi'(k) za sto vise k-ova. Moramo staviti pi(n)=i, ali problem je sto postoji neki j za koji je pi'(j)=i pa to ne bi bila bijekcija. Zato taj j posaljemo u n: pi(j)=n. Znaci, pi se podudara s pi' za sve k<n osim za j. Tako definirani pi je
1) bijekcija, jer su svi elementi iz kodomene pogodjeni (j se preslika u n, n se preslika u i, a pi' se pobrine za sve ostale)
2) deranzman, jer se n i j ne preslikaju sami u sebe, a ni ostali jer se drugdje podudara s pi'
3) element iz B jer se n preslika u i, a i se ne preslika u n jer se j u njega preslikava. Opet je bitno da je pi' deranzman da nam se ne dogodi i=j.

Na kraju treba primijetiti da je pridruzivanje pi'->pi inverzno onome koje smo u koraku prije definirali s B na D_(n-1).

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[RonnieColeman]