| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 8:37 pet, 12. 6. 2009 Naslov: Pellova jednadžba |
    |
|
|
Lijep pozdrav! Imam jedno pitanje u vezi Pellove jednadžbe, naime zadatak glasi ovako:
Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbi x^2-57y^2=+-1 sa svojstvom 0<x<7000.
Kad razvijem sqrt(57)=[7,1,1,4,1,1,14] gdje je r=6, napravim tablicu
an 7 1 1 4 1 1 14 7 1 1 4 1 1
qn 0 1 7 8 15 68 83 151 2197 2348 4545 20528 25073 45601 663487
pn 1 0 1 1 2 9 11 20 291 311 602 2719 5321 6040 87881
Zanima me kako da znam koja su rješenja ove jednadžbe, kako se gledaju i na koji naćin naći rješenja!
Lijep pozdrav! Imam jedno pitanje u vezi Pellove jednadžbe, naime zadatak glasi ovako:
Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbi x^2-57y^2=+-1 sa svojstvom 0<x<7000.
Kad razvijem sqrt(57)=[7,1,1,4,1,1,14] gdje je r=6, napravim tablicu
an 7 1 1 4 1 1 14 7 1 1 4 1 1
qn 0 1 7 8 15 68 83 151 2197 2348 4545 20528 25073 45601 663487
pn 1 0 1 1 2 9 11 20 291 311 602 2719 5321 6040 87881
Zanima me kako da znam koja su rješenja ove jednadžbe, kako se gledaju i na koji naćin naći rješenja!
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol: 
|
| Postano: 8:52 pet, 12. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
Prema Teoremu 7.6 iz skripte, pogleda se najprije duljina perioda r u razvoju u verizni razlomak od sqrt(57). Ovdje je r=6.
Zato jednadzba x^2-57y^2=-1 nema rjesenja.
A rjesenja jednadzbe x^2-57y^2=1 su x=p_{6n-1}, y=q_{6n-1}.
Pa je jedino rjesenje koje zadovoljava uvjet 0<x<7000,
(x,y) = (151,20).
(Iduce bi bilo (x,y)=(45601,6040).)
Prema Teoremu 7.6 iz skripte, pogleda se najprije duljina perioda r u razvoju u verizni razlomak od sqrt(57). Ovdje je r=6.
Zato jednadzba x^2-57y^2=-1 nema rjesenja.
A rjesenja jednadzbe x^2-57y^2=1 su x=p_{6n-1}, y=q_{6n-1}.
Pa je jedino rjesenje koje zadovoljava uvjet 0<x<7000,
(x,y) = (151,20).
(Iduce bi bilo (x,y)=(45601,6040).)
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
| Postano: 21:00 čet, 18. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="Ančica"]U Primjeru 7.3. me zanima otkuda se dobije da je (x1, y1)=(4, 1)?[/quote]
Po Teoremu 7.10 je x_1=p_1, y_1=q_1, gdje je p_1/q_1 prva konvergenta u razvoju u verizni razlomak broja sqrt(15).
Pa je p_1=a0*a1+1=3*1+1=4, q_1=a_1=1.
A mislim da se moze reci (tako pise u skripti) i da je ocito da je (4,1) najmanje rjesenje u prirodnim brojevima: ocito jest rjesenje jer je 4^2-15*1^2=1; a ocito je i najmanje jer nema manjeg prirodnog broja od 1 (verzini razlomci su nam stvarno nuzni u slucajevima kad je najmanje rjesenje veliko, pa je uvrstavanje y=1,2,3,... neefikasno).
| Ančica (napisa): | | U Primjeru 7.3. me zanima otkuda se dobije da je (x1, y1)=(4, 1)? |
Po Teoremu 7.10 je x_1=p_1, y_1=q_1, gdje je p_1/q_1 prva konvergenta u razvoju u verizni razlomak broja sqrt(15).
Pa je p_1=a0*a1+1=3*1+1=4, q_1=a_1=1.
A mislim da se moze reci (tako pise u skripti) i da je ocito da je (4,1) najmanje rjesenje u prirodnim brojevima: ocito jest rjesenje jer je 4^2-15*1^2=1; a ocito je i najmanje jer nema manjeg prirodnog broja od 1 (verzini razlomci su nam stvarno nuzni u slucajevima kad je najmanje rjesenje veliko, pa je uvrstavanje y=1,2,3,... neefikasno).
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
| Postano: 21:34 čet, 18. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
Razumijem, a u istom zadatku kako dodjemo do y2=8 i y3=63?
[size=9][color=#999999]Added after 1 minutes:[/color][/size]
Aha, sad sam i to vidjela otkuda.. hvala puno! :)
[size=9][color=#999999]Added after 8 minutes:[/color][/size]
Još nešto.. Ako sam u zadatku iz kolokvija dobila korijen(146)=[12, 12], s time da nema perioda, kako onda uzeti r?
[size=9][color=#999999]Added after 5 minutes:[/color][/size]
Uspjela sam i ovo skužiti.. Hvala na pomoći! :)
Razumijem, a u istom zadatku kako dodjemo do y2=8 i y3=63?
Added after 1 minutes:
Aha, sad sam i to vidjela otkuda.. hvala puno! 
Added after 8 minutes:
Još nešto.. Ako sam u zadatku iz kolokvija dobila korijen(146)=[12, 12], s time da nema perioda, kako onda uzeti r?
Added after 5 minutes:
Uspjela sam i ovo skužiti.. Hvala na pomoći!
_________________
..a jooooooj..
|
|
| [Vrh] |
|
duje
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31)
Postovi: (55C)16
Spol:
|
| Postano: 21:42 čet, 18. 6. 2009 Naslov: |
|
|
|
sqrt(146)=[12,12,24,12,24,12,24,...]
(period je 2)
sqrt(146)=[12,12,24,12,24,12,24,...]
(period je 2)
|
|
| [Vrh] |
|
Ančica
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 12. 2006. (16:12:53)
Postovi: (F6)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
ainotna
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 03. 2005. (19:38:22)
Postovi: (61)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
mischa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2007. (17:52:41)
Postovi: (D8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
| Postano: 21:10 čet, 2. 7. 2009 Naslov: |
|
|
|
[quote="mischa"]kak se odredi do kuda ide n u tablici?[/quote]
Rjesenja ima beskonacno mnogo, ali je u zadatku zadan neki uvjet, npr x < 100 000, koji se postigne prilicno brzo (ako se ne varam, na nasem kolokviju je q_9 bio prevelik), jer p_n i q_n brzo rastu (eksponencijalno). Cim predes zadani uvjet, to je to.
| mischa (napisa): | | kak se odredi do kuda ide n u tablici? |
Rjesenja ima beskonacno mnogo, ali je u zadatku zadan neki uvjet, npr x < 100 000, koji se postigne prilicno brzo (ako se ne varam, na nasem kolokviju je q_9 bio prevelik), jer p_n i q_n brzo rastu (eksponencijalno). Cim predes zadani uvjet, to je to.
_________________
Bri
|
|
| [Vrh] |
|
mischa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 09. 2007. (17:52:41)
Postovi: (D8)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Antonija
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 11. 2007. (09:38:06)
Postovi: (139)16
|
|
| [Vrh] |
|
rafaelm
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 12. 2006. (13:30:11)
Postovi: (21F)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
|
