| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 22:49 ned, 14. 3. 2004 Naslov: Uređena trojka brojeva u vezi sa vektorom i točkom! |
    |
|
|
vektor 'a' se može napisati kao uređena trojka brojeva,primjerice (2,4,1),dakle a=(2,4,1).
Dati vektor je isto što i dati uređenu trojku,prostor u kojemu živi vektor 'a' (V^3) je stoga izomorfan prostoru IR^3.
Ako označim:točka A=(2,4,1) to će značiti da dati točku je isto što i dati uređenu trojku brojeva,a iz prethodnog se može napisati A=(2,4,1)=a => a=A .
Ali! To nije točno!
Dati točku nikako ne znači dati vektor,gdje sam pogriješio?
Možda stvar leži u činjenici da ako točki pridružujem uređenu trojku odnosno koordinate imavši točku A nužno imam i točku O(ishodište k.sustava) pa malim prepravljanjem gornje nestašnosti moram napisati a=OA.
Ali sad opet dužina OA ne mora biti usmjerena.
Pa pitanje ostaje isto:gdje sam pogriješio ?
vektor 'a' se može napisati kao uređena trojka brojeva,primjerice (2,4,1),dakle a=(2,4,1).
Dati vektor je isto što i dati uređenu trojku,prostor u kojemu živi vektor 'a' (V^3) je stoga izomorfan prostoru IR^3.
Ako označim:točka A=(2,4,1) to će značiti da dati točku je isto što i dati uređenu trojku brojeva,a iz prethodnog se može napisati A=(2,4,1)=a => a=A .
Ali! To nije točno!
Dati točku nikako ne znači dati vektor,gdje sam pogriješio?
Možda stvar leži u činjenici da ako točki pridružujem uređenu trojku odnosno koordinate imavši točku A nužno imam i točku O(ishodište k.sustava) pa malim prepravljanjem gornje nestašnosti moram napisati a=OA.
Ali sad opet dužina OA ne mora biti usmjerena.
Pa pitanje ostaje isto:gdje sam pogriješio ?
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 23:46 ned, 14. 3. 2004 Naslov: Re: Uređena trojka brojeva u vezi sa vektorom i točkom! |
|
|
|
[quote="Anonymous"]vektor 'a' se može napisati kao uređena trojka brojeva,primjerice (2,4,1),dakle a=(2,4,1).
Dati vektor je isto što i dati uređenu trojku,prostor u kojemu živi vektor 'a' (V^3) je stoga izomorfan prostoru IR^3.
Ako označim:točka A=(2,4,1) to će značiti da dati točku je isto što i dati uređenu trojku brojeva,a iz prethodnog se može napisati A=(2,4,1)=a => a=A .
Ali! To nije točno!
Dati točku nikako ne znači dati vektor,gdje sam pogriješio?
Možda stvar leži u činjenici da ako točki pridružujem uređenu trojku odnosno koordinate imavši točku A nužno imam i točku O(ishodište k.sustava) pa malim prepravljanjem gornje nestašnosti moram napisati a=OA.
Ali sad opet dužina OA ne mora biti usmjerena.
Pa pitanje ostaje isto:gdje sam pogriješio ?[/quote]
Cuj, da li je duzina usmjerena ili ne ovisi kako gledas na OA. Ovako kako si napisao meni ne izgleda isto kao AO. Ako bas jako zelis neusmjerenu duzinu pisi {O,A} (samo onda imas problem ako je O=A :) ).
Pitanje da li je nesto tocka ili vektor zapravo je pitanje o tome sto zelis raditi s tim objektom. Kanonski model za strukturu u kojoj zivi u oba slucaja je [b]R[/b]^n, ali tocke obicno necemo zbrajati, a vektore hocemo. U Linearnoj algebri u pocetku se pazi na razliku izmedju tocaka i vektora (klasicni model V^3). Kasnije kad se dodje do unitarnih prostora gubi se razlika. Na Euklidskim prostorima dosljedno se pazi da tocke i vektori ne zive u istom skupu (koristi se precizan geometriski jezik). Medjutim, na vecini kolegija kasnije jednostavnije je apstraktne strukture zamijeniti sa [b]R[/b]^n, kojem su ionako sve izomorfne. Uredjene n-torke mogu biti tocke, vektori, ili sto vec treba.
| Anonymous (napisa): | vektor 'a' se može napisati kao uređena trojka brojeva,primjerice (2,4,1),dakle a=(2,4,1).
Dati vektor je isto što i dati uređenu trojku,prostor u kojemu živi vektor 'a' (V^3) je stoga izomorfan prostoru IR^3.
Ako označim:točka A=(2,4,1) to će značiti da dati točku je isto što i dati uređenu trojku brojeva,a iz prethodnog se može napisati A=(2,4,1)=a ⇒ a=A .
Ali! To nije točno!
Dati točku nikako ne znači dati vektor,gdje sam pogriješio?
Možda stvar leži u činjenici da ako točki pridružujem uređenu trojku odnosno koordinate imavši točku A nužno imam i točku O(ishodište k.sustava) pa malim prepravljanjem gornje nestašnosti moram napisati a=OA.
Ali sad opet dužina OA ne mora biti usmjerena.
Pa pitanje ostaje isto:gdje sam pogriješio ? |
Cuj, da li je duzina usmjerena ili ne ovisi kako gledas na OA. Ovako kako si napisao meni ne izgleda isto kao AO. Ako bas jako zelis neusmjerenu duzinu pisi {O,A} (samo onda imas problem ako je O=A  ).
Pitanje da li je nesto tocka ili vektor zapravo je pitanje o tome sto zelis raditi s tim objektom. Kanonski model za strukturu u kojoj zivi u oba slucaja je R^n, ali tocke obicno necemo zbrajati, a vektore hocemo. U Linearnoj algebri u pocetku se pazi na razliku izmedju tocaka i vektora (klasicni model V^3). Kasnije kad se dodje do unitarnih prostora gubi se razlika. Na Euklidskim prostorima dosljedno se pazi da tocke i vektori ne zive u istom skupu (koristi se precizan geometriski jezik). Medjutim, na vecini kolegija kasnije jednostavnije je apstraktne strukture zamijeniti sa R^n, kojem su ionako sve izomorfne. Uredjene n-torke mogu biti tocke, vektori, ili sto vec treba.
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 20:29 pon, 15. 3. 2004 Naslov: |
|
|
|
vektor a=(2,4,1),vektor je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
točka G=(2,4,1),točka je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
Iz toga slijedi a=(2,4,1)=G.
Ja znam da ovo što sam napisao NIJE KOREKTNO ali to proizlazi iz gornjih ''supstitucija'':vektor je uređena trojka,točka je uređena trojka.
Ja samo zaključujem na temelju predočene matematičke simbolike,možete li me razuvjeriti.
vektor a=(2,4,1),vektor je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
točka G=(2,4,1),točka je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
Iz toga slijedi a=(2,4,1)=G.
Ja znam da ovo što sam napisao NIJE KOREKTNO ali to proizlazi iz gornjih ''supstitucija'':vektor je uređena trojka,točka je uređena trojka.
Ja samo zaključujem na temelju predočene matematičke simbolike,možete li me razuvjeriti.
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
| Postano: 23:14 pon, 15. 3. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]vektor a=(2,4,1),vektor je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
točka G=(2,4,1),točka je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
Iz toga slijedi a=(2,4,1)=G.
Ja znam da ovo što sam napisao NIJE KOREKTNO[/quote]
Sto tu nije korektno?
a=1 je cijeli broj.
b=1 je racionalni broj.
c=1 je realni broj.
a=b=c. Apsolutno korektno i tocno.
Iz toga naravno ne slijedi da su cijeli, racionalni i realni brojevi jedno te isto. Jel te to muci?
| Anonymous (napisa): | vektor a=(2,4,1),vektor je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
točka G=(2,4,1),točka je ''isto što i'' uređena trojka brojeva
Iz toga slijedi a=(2,4,1)=G.
Ja znam da ovo što sam napisao NIJE KOREKTNO |
Sto tu nije korektno?
a=1 je cijeli broj.
b=1 je racionalni broj.
c=1 je realni broj.
a=b=c. Apsolutno korektno i tocno.
Iz toga naravno ne slijedi da su cijeli, racionalni i realni brojevi jedno te isto. Jel te to muci?
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
nenad
Moderator
Pridružen/a: 08. 10. 2002. (14:08:30)
Postovi: (355)16
|
| Postano: 23:18 pon, 15. 3. 2004 Naslov: |
|
|
|
Točke su točke, a vektori vektori.
Brojevi, kao i njihove uređene trojke, su nešto treće.
[Realni broj možemo shvatiti kao klasu ekvivalencije Cauchyjevih nizova u Q, kao prerez]
Pođimo od točaka, i pretpostavimo da se naše geometrijsko znanje iz škole
može strogo (aksiomatski) opisati. Sada znamo točno što su to točke.
I onda definiramo usmjerene dužine, pa vektore. Kao uređene parove točaka,
odnosno klase ekvivalencije.
I kada to naučimo, onda uočimo da točkama možemo pribrajati vektore (nanijeti
od točke), što daje točke (zapravo translatiramo točku za taj vektor).
[I onda to možemo poopćiti na zakrivljene prostore, i vidimo da se sve slaže i za
računanje derivacija, ... (v. Diferencijalnu geometriju) I da to sve ima puni fizikalni smisao. ]
A gdje tu dođu brojevi i njihove uređene trojke?
1. Potencijalni model za euklidsku geometriju.
2. Preko baze, svaki vektorski prostor je izomorfan nekom matričnom
(stupci), ili drugačije zapisanom, trojke.
Znamo već od prije da su radij vektori i točke u bijektivnoj vezi, i da se to slaže.
Ali, FORMALNO, nemojmo zaboraviti da je (x,y,z) element Kartezijevog produkta
tri R-a, dok je [x,y,z] (matrica redak) neka funkcija f : 1..3 -> R, te je x=f(1), ...
To nisu FORMALNO isti objekti, premda nam svima odmah treba biti jasno da su
U BITI isti.
Uglavnom, to su isti objekti kad razmišljamo, tražimo ideje, ... a nipošto nisu isti kad
negdje zapnemo, i nije nam jasno o čemu se tu radi. A što su između tih krajnosti,
to uglavnom ovisi o tome kako netko od nas doživljava matematiku :)
- Nenad Antonić
Točke su točke, a vektori vektori.
Brojevi, kao i njihove uređene trojke, su nešto treće.
[Realni broj možemo shvatiti kao klasu ekvivalencije Cauchyjevih nizova u Q, kao prerez]
Pođimo od točaka, i pretpostavimo da se naše geometrijsko znanje iz škole
može strogo (aksiomatski) opisati. Sada znamo točno što su to točke.
I onda definiramo usmjerene dužine, pa vektore. Kao uređene parove točaka,
odnosno klase ekvivalencije.
I kada to naučimo, onda uočimo da točkama možemo pribrajati vektore (nanijeti
od točke), što daje točke (zapravo translatiramo točku za taj vektor).
[I onda to možemo poopćiti na zakrivljene prostore, i vidimo da se sve slaže i za
računanje derivacija, ... (v. Diferencijalnu geometriju) I da to sve ima puni fizikalni smisao. ]
A gdje tu dođu brojevi i njihove uređene trojke?
1. Potencijalni model za euklidsku geometriju.
2. Preko baze, svaki vektorski prostor je izomorfan nekom matričnom
(stupci), ili drugačije zapisanom, trojke.
Znamo već od prije da su radij vektori i točke u bijektivnoj vezi, i da se to slaže.
Ali, FORMALNO, nemojmo zaboraviti da je (x,y,z) element Kartezijevog produkta
tri R-a, dok je [x,y,z] (matrica redak) neka funkcija f : 1..3 → R, te je x=f(1), ...
To nisu FORMALNO isti objekti, premda nam svima odmah treba biti jasno da su
U BITI isti.
Uglavnom, to su isti objekti kad razmišljamo, tražimo ideje, ... a nipošto nisu isti kad
negdje zapnemo, i nije nam jasno o čemu se tu radi. A što su između tih krajnosti,
to uglavnom ovisi o tome kako netko od nas doživljava matematiku
- Nenad Antonić
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 9:47 uto, 16. 3. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Zaključak:vektor je U BITI (translatirana)točka,a FORMALNO usmjerena dužina određena smjerom,modulom i orijentacijom.[/quote]
Evo, valjda je red da sad i jedan metaformalist kao ja iznese svoj pogled.
Za mene, u standardnoj terminologiji, točka i vektor zaista jesu jedno te isto. Ono što je OP gore napisao za mene je sasvim korektno. Točke mogu zbrajati i množiti skalarom, pa i skalarno množiti ako treba. I nikad nisam došao ni do kakvih stvarnih kontradikcija. To što si te operacije ne mogu zorno predočiti (ako točke zamišljam onako fizikalno, kao tragove olovke na papiru), mene jednako zabrinjava kao to da si ne mogu zorno predočiti 9dimenzionalni prostor npr. (u prijevodu, ne zabrinjava me uopće).
Ako mi je dopošteno pojam "točka" upotrijebiti kao nešto novo, da mi ne bude samo sinonim za "vektor" u gornjem smislu, upotrebljavam ga za singleton, dakle jednočlan skup čiji je jedini element vektor (slog, uređena trojka, whatever). Na taj način zaista mogu reći "presjek te ravnine i tog pravca je točka", ili "taj pravac sadrži tu točku" na jednak način kao i "ta ravnina sadrži taj pravac".
Inače, uređena trojka realnih brojeva za mene _jest_ preslikavanje s ordinala 3 u |R , gdje je ordinal 3 shvaćen u von Neumannovom smislu, dakle 3:={0,1,2} . Matrica je, naprotiv, funkcija dvije varijable, a njen "tip" (mxn) je zapravo njena domena, Kartezijev produkt dva konačna ordinala. Vektor redak je matrica 1xn , dakle nije isto što i vektor (iako se slično zove). Također, vektor stupac je neka treća zvijer (osim ako je n=1).
Još osvrt na brojeve. Prirodni broj 1 nije isto što i cijeli broj +1 , niti je isto što i racionalni broj 1/ , niti je isto što i realni broj 1. , niti je isto što i kompleksni broj 1+0i . Svi ti objekti su različiti (i analogno za druge brojeve). Samo se jako uspješno prave da su isti. Npr. u osnovnim računskim operacijama, mimikrija (u smislu embeddinga) je gotovo savršena. Jedini izuzetak je potenciranje nule nulom, o čemu sam, vjerujem, već pričao na ovom Forumu.
Napomena 1: naravno, ne pričam o izomorfizmu. Hrpa objekata koje sam gore spomenuo su elementi strukturâ koje su (čak prirodno) izomorfne. I ima ih smisla poistovjetiti u 99% slučajeva. Ali te strukture (pa i njihovi elementi) su različiti objekti u skupovnom smislu.
Napomena 2: također, ne pričam o aksiomatski zadanim sustavima. realni brojevi mogu biti zadani preko hrpe aksioma (A1-A15), baš kao i točke (hilbertovska geometrija), pa i vektori (aksiomi vektorskog prostora). Pričam o njihovim relativno standardnim modelima, dakle ne odgovaram na pitanje "kakve su točke", već "što su točke". Netko će, naizgled s valjanim argumentima, reći da ovo drugo nije uopće bitno. Ali ponekad jest bitno.
Primjer: svi znamo "uređeni parovi su objekti koji su sastavljeni od dvije komponente, i jednaki su akko su im jednake prve, i jednake druge komponente", i "znamo" da je to sve što će nam ikada trebati o uređenim parovima. I čovjek s time radi godinama. No onda se (zaista, ja vidio na predavanju - MTR, ako nekog zanima) pojavi potreba da se dokaže da ne postoji objekt p takav da vrijedi p=(p,p) . I to se odjednom ne može pomoću samo gornje karakterizacije. Ali ako znamo što uređen par "zaista" jest, (x,y):={{x},{x,y}} , ovo gore ( p=(p,p) ) postaje trivijalna kontradikcija s Aksiomom Fundacije ( {p}@p ), i stvar je riješena.
HTH,
| Anonymous (napisa): | | Zaključak:vektor je U BITI (translatirana)točka,a FORMALNO usmjerena dužina određena smjerom,modulom i orijentacijom. |
Evo, valjda je red da sad i jedan metaformalist kao ja iznese svoj pogled.
Za mene, u standardnoj terminologiji, točka i vektor zaista jesu jedno te isto. Ono što je OP gore napisao za mene je sasvim korektno. Točke mogu zbrajati i množiti skalarom, pa i skalarno množiti ako treba. I nikad nisam došao ni do kakvih stvarnih kontradikcija. To što si te operacije ne mogu zorno predočiti (ako točke zamišljam onako fizikalno, kao tragove olovke na papiru), mene jednako zabrinjava kao to da si ne mogu zorno predočiti 9dimenzionalni prostor npr. (u prijevodu, ne zabrinjava me uopće).
Ako mi je dopošteno pojam "točka" upotrijebiti kao nešto novo, da mi ne bude samo sinonim za "vektor" u gornjem smislu, upotrebljavam ga za singleton, dakle jednočlan skup čiji je jedini element vektor (slog, uređena trojka, whatever). Na taj način zaista mogu reći "presjek te ravnine i tog pravca je točka", ili "taj pravac sadrži tu točku" na jednak način kao i "ta ravnina sadrži taj pravac".
Inače, uređena trojka realnih brojeva za mene _jest_ preslikavanje s ordinala 3 u |R , gdje je ordinal 3 shvaćen u von Neumannovom smislu, dakle 3:={0,1,2} . Matrica je, naprotiv, funkcija dvije varijable, a njen "tip" (mxn) je zapravo njena domena, Kartezijev produkt dva konačna ordinala. Vektor redak je matrica 1xn , dakle nije isto što i vektor (iako se slično zove). Također, vektor stupac je neka treća zvijer (osim ako je n=1).
Još osvrt na brojeve. Prirodni broj 1 nije isto što i cijeli broj +1 , niti je isto što i racionalni broj 1/ , niti je isto što i realni broj 1. , niti je isto što i kompleksni broj 1+0i . Svi ti objekti su različiti (i analogno za druge brojeve). Samo se jako uspješno prave da su isti. Npr. u osnovnim računskim operacijama, mimikrija (u smislu embeddinga) je gotovo savršena. Jedini izuzetak je potenciranje nule nulom, o čemu sam, vjerujem, već pričao na ovom Forumu.
Napomena 1: naravno, ne pričam o izomorfizmu. Hrpa objekata koje sam gore spomenuo su elementi strukturâ koje su (čak prirodno) izomorfne. I ima ih smisla poistovjetiti u 99% slučajeva. Ali te strukture (pa i njihovi elementi) su različiti objekti u skupovnom smislu.
Napomena 2: također, ne pričam o aksiomatski zadanim sustavima. realni brojevi mogu biti zadani preko hrpe aksioma (A1-A15), baš kao i točke (hilbertovska geometrija), pa i vektori (aksiomi vektorskog prostora). Pričam o njihovim relativno standardnim modelima, dakle ne odgovaram na pitanje "kakve su točke", već "što su točke". Netko će, naizgled s valjanim argumentima, reći da ovo drugo nije uopće bitno. Ali ponekad jest bitno.
Primjer: svi znamo "uređeni parovi su objekti koji su sastavljeni od dvije komponente, i jednaki su akko su im jednake prve, i jednake druge komponente", i "znamo" da je to sve što će nam ikada trebati o uređenim parovima. I čovjek s time radi godinama. No onda se (zaista, ja vidio na predavanju - MTR, ako nekog zanima) pojavi potreba da se dokaže da ne postoji objekt p takav da vrijedi p=(p,p) . I to se odjednom ne može pomoću samo gornje karakterizacije. Ali ako znamo što uređen par "zaista" jest, (x,y):={{x},{x,y}} , ovo gore ( p=(p,p) ) postaje trivijalna kontradikcija s Aksiomom Fundacije ( {p}@p ), i stvar je riješena.
HTH,
|
|
| [Vrh] |
|
nenad
Moderator
Pridružen/a: 08. 10. 2002. (14:08:30)
Postovi: (355)16
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
|
