1. kolokvij- zadatak

[sunny]

da li bi mogao netko rijesiti prvi b) zadatak s proslogodisnjeg kolokvija?

[bimarko]

nisam baš siguran da ovako ide pa nek neko provjeri, ali vjerojatno je dobro....

uvjet da x>0 je prilično trivijalan (a ako i nije, slijedi prilično jednostavno ako znaš ovaj prvi)...

dakle mi imamo x^2 + y^2<4 .... to je ekvivalentno uvjetu IIzII<2 (norma 2 od x je manja od 2 gdje je z=(x,y) element od R2)

sad, po def. otvorenosti slijedi da za svaki x iz A(nazovimo to a) postoji r >0 takav da Kugla oko x radijusa r je čitava sadržana u A....

znači recimo da to stvarno vrijedi pa pikneš neki x i idemo naći r.....

e super...uzmemo r = (2 - IIxII) /2 (ovo II je norma opet) .... (tu si naslikaj pa će ti bit jasno zašto)

sad šta tebe zanima... moraš uzet proizvoljnu točku iz ove kružnice i pokazat da ona pripada skupu...odnosno da je norma manja od 2....

pa uzimo neki k koji je element K(x,r)....
i zanima nas IIkII=IIk-0II=d(0,k) (po jednakosti trokuta..nejednakosti) <=d(0,x)+d(x,y)<= IIxII + (2-IIxII)/2 <2

to je to
e i da...presjek konačno mnogo otvorenih skupova je otvoren skup...pa slijedi tvrdnja

mene zanima...

jel se to može pokazat ovako....pretpostavim suprotno..... kažem da je taj skup zatvoren.... i onda uzmem točku recimo (0,2)....koja je točno na rubu očiuto....dokažem trivijalno da je gomilište...a opet ne pripada skupu...pa odatle slijedi da ne sadrži gomilišta -> nije zatvoren...znači otvoren ....

[Novi]

Nisam vidio koji je zadatak, ali suprotno od otvorenog nije zatvoreno!!!
Postoje skupovi koji nisu ni jedno ni drugo, npr. [0,1> u R. Dakle logicki ne slijedi.

_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.

[sunny]

@bimarko : hvala puno!! mi smo imale ideju i sve ali nam nikako nije padalo na pamet sta bi nam mogao biti taj r. hvala !!

[Vip]

molim llijepo ako moze netko objasnit tocno kak se dobije ovaj radijus
r=(2-||x||)/2.

hvala!

[markotron]

Kružnica je radijusa 2. Uzmeš bilo koju točku iz kružnice i želiš naći neku kuglu koja je cijela sadržana u kružnici.

Dakle, uzmeš proizvoljnu točku iz kružnice. Sada te zanima koju bi kuglu sa središtem mogao naći, a da je cijela sadržana u kružnici, točnije zanima te radijus te kugle. Pošto je radijus tvoje kružnice 2, za uzmeš a to je točno , (naravno ) sad ovaj kroz 2 možeš uzet ali i ne moraš. To je sam da se "osiguraš" da ti kugla neće izlaziti iz kružnice. Štoviše, ovaj kroz 2 ti u dokazu samo smeta.

Pozdrav

_________________
reductio ad absurdum