Zadatak s danjasnjeg kolokvija (zadatak)

[Flame]

Zna li tko rjesenje 4.b zadatka s danasnjeg kolokvija iz ma1? Zadatak glasi:

Postoji li padajuca bijekcija takva da vrijedi:



Ako postoji, pronadjite sve takve funkcije.

Unaprijed hvala na odgovoru.

[pbakic]

pretpostavimo da f postoji:

tada mora vrijediti

djelujes opet s (kako je ona padajuca, mijenja se predznak):



sad gledamo desnu stranu: za svaki f(x), mora vrijediti
za svaki x (*)
(zato jer je -1/4 y koordinata tjemena kvadratne funkcije x^2 +x)

Time smo dobili da je desna strana veca od -1/4, promotrimo sada lijevu:
x^3 je surjekcija, i je surjekcija (ocito, jer mora biti bijekcija)
dakle na lijevoj strani imas kompoziciju 3 surjekcije, sto je opet surjekcija.

je surjekcija na R, pa ce sigurno postojati x takav da je
< -1/4, a to je kontradikcija sa (*), to jest cinjenicom da mora biti
pa takva funkcija ne postoji

[Flame]

Jao, nemogu vjerovati da se nisam uopce sjetio traziti ekstrem
Nice.

[pajopatak]

Dali zna tko kad su rezultati?

[Flame]

Nesto sam nacuo da nece ovaj tjedan, ali nemoj me drzati za rijec.

[tmarusca]

a moze rjesenje zadatka iz druge grupe?
Postoji li padajuca takva da za vrijedi



Ako postoji, pronadite takve funkcije.

ugl ja sam htio dokazati da ne postoji i jako jako sam se trudio ali nikako mi nije islo, pa sam zakljucio da je to zato sto postoji takva funkcija. ali nisam ju uspio pronaci. jesam pogodio? hocu dobiti koji bod iz samilosti za tako nesto?

thx

_________________
...to kaj ona ima kilu viska, ja ne marim...

[Flame]

Pretpostavimo da postoji takva funkcija. Tada je rastuca kao kompozicija dviju padajucih f-ja. mozemo napisati kao kompoziciju pri cemu je , pa je strogo rastuca kao kompozicija strogo padajuce, padajuce i strogo rastuce f-je. Neka je . je ocito strogo rastuca f-ja. S desne strane imamo funkciju koja je strogo padajuca kao kompozicija strogo rastuce i padajuce funkcije. Kako s lijeve strane jednakosti dobivamo strogo rastucu, a s desne strogo padajucu funkciju, dolazimo do kontradikcije. Dakle, ne postoji takav .

[pbakic]

bilo bi lijepo da je tak, al nazalost, nitko ne kaze nadji f strogo padajucu. Takodjer (opcenito), kompozicija gdje je f strogo rastuca a g samo rastuca ne mora bit strogo rastuca (dakle dalje u zadatku ne mozes nista strogo govorit o ovim kompozicijama)
@flame, ja sam isao rjesavat isto kao ti, ali kad dobijes
rastuca = padajuca, ne mozes rec da je to kontradikcija, jer moze biti

rastuca = padajuca ako je to konstanta (koja je istovremeno rastuca i padajuca, ocito)... kad se to dobije, zadatak se pocne jako komplicirat, i uopce nisam siguran da su ga zadali kako su htjeli...

ak tako krenes rjesavat, dobijes f(f(x)) = c za svaki x (c je konstanta)
takodjer, mora bit
Preglednosti radi, napravimo supstituciju,
Sad imamo:
ili bolje: .
Uocimo, f je padajuca, treci korijen rastuca, pa je rastuca (*)

* vrijedi jer je 3. korijen rastuca, f(treci korijen) onda ocito padajuca, 2 na to cudo takodjer padajuca, i to sve sa minus predznakom rastuca.

s tim opet imamo jednakost padajuce i rastuce , istom argumentacijom dobivamo da su obje strane konstante ⇒ f(t) je konstanta, a posto t=x^3 prolazi kroz cijeli R,
mora biti f(x) je konstanta.

Dalje je lagano, jer imas iz pocetnog uvjeta:
, sto je ocita kontradikcija

Naravno, ovaj zadnji korak (poslije *) je naknadna pamet, o tom nisam bas stigo razmislit tak posteno unutar onog vremena na kolokvij...

[Flame]

Je, upravu si, nisam dobro promislio o tome.
Sve u svemu, htjeli su nam malo zapapriti ove godine
teorijski zadaci su dosta laksi u starim kolokvijima.

[pbakic]

imas pravo, i meni se cini... doduse, mozda smo subjektivni malo

[tmarusca]

zasto se nitko od sluzbenih ljudi ne javi i kaze je li greska ili nije greska?

ali jesu tezi su od starijih, u starijima su se mogli rijesiti u par redova i bez ovoliko maste i kompliciranja... imho

_________________
...to kaj ona ima kilu viska, ja ne marim...

[Swerz]

[vsego]

Umoljen sam prenijeti sljedece rjesenje:

Postoji li padajuca funkcija takva da vrijedi
, za sve ?

Pretpostavimo da takva postoji. Tada je , za sve .
Definirajmo funkcije s
i
.
Tada je rastuca, a padajuca, pa je nuzno
konstantna funkcija.
Dakle, postoji takav da je , za sve . No, tada je i , za sve . Ako to uvrstimo u pocetnu funkcijsku jednadzbu, dobivamo
; kontradikcija.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[medonja]

[pbakic]

Jel kuzis zasto je f^-1 surjekcija?

Ako da, onda ovo dalje stvarno ide iz definicije surjektivnosti:
znas da postoji a iz R takav da je f^-1(a) = -100 (na primjer)
za taj a postoji b iz R takav da je (f^-1)(b) = a (opet, jer je f^-1 surjekcija)
za taj b postoji c iz R takav da je c^3=b (ovo zato sto je x^3 surjekcija)

Sad smo dobili f^-1(f^-1(c^3))= - 100, a to ocito nije vece od -1/4

[medonja]

Da, kuzim zakaj je surjekcija... sad sam kolko tolko skuzila i ostatak, zahvaljujem