Jednadžba s Eulerovom funkcijom (zadatak)

[Junky099]

"Dokažite da je jednadžba f(x) = 14 nema rješenja." (f je Eulerova funkcija)

[Ignavia]

taj x prikazes rastavljenog na proste faktore - x=p_1^a_1*...*p_k^a_k
onda, eulerova funkcija od x je jednaka f(x)=x*(1- 1/p_1)*...*(1- 1/p_k) = p_1^(a_1-1)*(p_1 - 1)*...*p_k^(a_k-1)*(p_k - 1) = 14
onda vidis da posto (p_i-1) dijeli 14, slijedi da je p_i -1 iz skupa {1,2,7,14}, odnosno p_i iz {2,3,8,15}, i jos p_i mora biti prost pa je zapravo p_i iz {2,3}

znaci x=2^a_1 * 3^a_2
14=f(x)=2^(a_1 -1)* )*1*3^(a_2-1)*2
7=2^(a_1-1)*3(a_2-1), a to očito nema rješenja u prirodnim brojevima

_________________
moj prostor

[Junky099]

E, hvala. Baš sam glup, ne znam zašto samo nisam raspisao po definiciji.

Htio bih sada pitati još jedan zadatak, ali ne želim otvarati novu temu:
"Za koji n je suma (n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2) djeljiva s 10?"

[JANKRI]

, iz ovog slijedi da moramo naći za koji je djeljivo s .

Vrijedi , dakle, potrebno je naći za koji je djeljivo s 5.

Sada direktnom provjerom vidimo da zadovoljavaju svi (i samo oni!) brojevi oblika , gdje je , odnosno ukoliko mora biti prirodan broj.