Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gost






PostPostano: 10:19 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Lagrangeov teorem srednje vrijednosti Citirajte i odgovorite

Lagrangeov teorem srednje vrijednosti:
Pretpostavke:
(i) f : I -> IR neprekidna , I=[a,b]
(ii) f diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>
Doprinos(izraz profesora Šikića) teorema:
f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a)
-----------------------
pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?

Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?

2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.
Lagrangeov teorem srednje vrijednosti:
Pretpostavke:
(i) f : I → IR neprekidna , I=[a,b]
(ii) f diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>
Doprinos(izraz profesora Šikića) teorema:
f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a)
-----------------------
pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?

Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?

2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.


[Vrh]
ZELENIZUBNAPLANETIDO
SADE

Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15)
Postovi: (54F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 12 - 5
Lokacija: hm?

PostPostano: 11:47 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Re: Lagrangeov teorem srednje vrijednosti Citirajte i odgovorite

[quote="gost"]pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?[/quote]
def. derivabilnosti:
lim(x->c)[(f(x)-f(c))/(x-c)=:f'(c)
drugim rijecima, to je nesto sto se desava u nekakvoj okolini tocke c.
Jednostavno govoreci: diferencijabilnost je nesto sto se po osnovnoj definiciji dogadja na otvorenom skupu.
(buduci da oko tocaka a i b ne mozemo uzeti nekakvu e>0 okolinu t.d. <a-e, a+e> i <b-e, b+e> budu sadrzani u [a,b])
btw: def. diferencijabilnosti se uz malo kompliciranja moze definirati i na segmentu, ali to ovdje nije slucaj.
[quote="gost"]Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?[/quote]
Ja malo sporo povezujem paragrafe :zivili: zbog jucer :) ali, da. Potpuno si u pravu :)
[quote="gost"]2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.[/quote]
Mozda je krivo moje retardirano stanje duha, ali ono drugo me podsijeca na nekakvu formulu za integriranje (ne bas bistru kad smo kod toga), ali ne uvidjam vezu sa dragim Lagrangeom...
gost (napisa):
pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?

def. derivabilnosti:
lim(x→c)[(f(x)-f(c))/(x-c)=:f'(c)
drugim rijecima, to je nesto sto se desava u nekakvoj okolini tocke c.
Jednostavno govoreci: diferencijabilnost je nesto sto se po osnovnoj definiciji dogadja na otvorenom skupu.
(buduci da oko tocaka a i b ne mozemo uzeti nekakvu e>0 okolinu t.d. <a-e, a+e> i <b-e, b+e> budu sadrzani u [a,b])
btw: def. diferencijabilnosti se uz malo kompliciranja moze definirati i na segmentu, ali to ovdje nije slucaj.
gost (napisa):
Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?

Ja malo sporo povezujem paragrafe Zivili! zbog jucer Smile ali, da. Potpuno si u pravu Smile
gost (napisa):
2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.

Mozda je krivo moje retardirano stanje duha, ali ono drugo me podsijeca na nekakvu formulu za integriranje (ne bas bistru kad smo kod toga), ali ne uvidjam vezu sa dragim Lagrangeom...



_________________

Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk Wink
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...

PostPostano: 11:50 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Re: Lagrangeov teorem srednje vrijednosti Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]Lagrangeov teorem srednje vrijednosti:
Pretpostavke:
(i) f : I -> IR neprekidna , I=[a,b]
(ii) f diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>
Doprinos(izraz profesora Šikića) teorema:
f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a)
-----------------------
pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?

Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?[/quote]

Da.

[quote]2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.[/quote]

Pa to ne vidim ni ja. :? Može pojašnjenje što si zapravo htio napisati... :?:
Anonymous (napisa):
Lagrangeov teorem srednje vrijednosti:
Pretpostavke:
(i) f : I → IR neprekidna , I=[a,b]
(ii) f diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>
Doprinos(izraz profesora Šikića) teorema:
f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a)
-----------------------
pitanja:
1.f je diferencijabilna u svakoj točki intervala <a,b>.
Zašto u pretpostavci ne piše da je diferencijabilna na segmentu [a,b] ?

Dali je to stoga što za rubne točke nemamo otvoreni interval odnosno okolinu slijeva i zdesna oko točke 'a' (odnosno točke 'b') jer se po definiciji derivacije zahtjeva okolina oko točke(domene) u kojoj želimo ispitati derivaciju ?


Da.

Citat:
2.Koja je veza između doprinosa teorema,dakle izraza oblika: f(b)-f(a)=f '(c)*(b-a) i izraza f( ( x_i-1 – x_i ) / 2 ) * (x_i – x_i-1) [x_i-1,x_1]sadržan u domeni funkcije f.
Stvar je u tome da ja ne vidim da je izraz koji sam prethodno napisao zapravo Lagrangeov teorem srednje vrijednosti pa može pojašnjenje.


Pa to ne vidim ni ja. Confused Može pojašnjenje što si zapravo htio napisati... Question


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
Gost






PostPostano: 12:35 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Evo,izvadak iz predavanja:
Da vam malo predočim :wink: :

Imam nacrtan kartezijev koordinatni sustav i nekakvu proizvoljnu krivulju,definirana je subdivizija i ispod grafa krivulje imam pravokutnike koji aproksimiraju(njihova površina) površinu odozdo,površina jednog pravokutnika glasi:

( f(x_i-1)+f(x_i) )/2 * (x_i – x_i-1)

dakle,imamo srednju vrijednost rubnih funkcijskih vrijednosti u produktu sa duljinom dužine intervala.

Sada Šikić piše formulu:
f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )

i Šikić sada kaže:[color=green]ovaj oblik formule znamo,radi se o vrijednosti između točaka funkcije 'puta' dužina intervala->Lagrangeov teorem srednje vrijednosti,upravo Lagrangeov teorem ima ovakav izraz=>to bi trebala biti derivacija funkcije.[/color](o tome vas ja pitam)

Dakle zanima nas funkcija F takva da vrijedi F'(x)=f(x)
Suma od 1 do n pribrojnika oblika f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )
Jednaka je F(b)-F(a).
Dakle,od pokušaja opisivanja površine došli smo do nekakve funkcije čija je derivacija jednaka polaznoj funkciji.
Evo,izvadak iz predavanja:
Da vam malo predočim Wink :

Imam nacrtan kartezijev koordinatni sustav i nekakvu proizvoljnu krivulju,definirana je subdivizija i ispod grafa krivulje imam pravokutnike koji aproksimiraju(njihova površina) površinu odozdo,površina jednog pravokutnika glasi:

( f(x_i-1)+f(x_i) )/2 * (x_i – x_i-1)

dakle,imamo srednju vrijednost rubnih funkcijskih vrijednosti u produktu sa duljinom dužine intervala.

Sada Šikić piše formulu:
f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )

i Šikić sada kaže:ovaj oblik formule znamo,radi se o vrijednosti između točaka funkcije 'puta' dužina intervala→Lagrangeov teorem srednje vrijednosti,upravo Lagrangeov teorem ima ovakav izraz⇒to bi trebala biti derivacija funkcije.(o tome vas ja pitam)

Dakle zanima nas funkcija F takva da vrijedi F'(x)=f(x)
Suma od 1 do n pribrojnika oblika f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )
Jednaka je F(b)-F(a).
Dakle,od pokušaja opisivanja površine došli smo do nekakve funkcije čija je derivacija jednaka polaznoj funkciji.


[Vrh]
veky
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Sarma = la pohva - posuda
22 = 24 - 2
Lokacija: negdje daleko...

PostPostano: 13:02 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]Evo,izvadak iz predavanja:
Da vam malo predočim :wink: :

Imam nacrtan kartezijev koordinatni sustav i nekakvu proizvoljnu krivulju,definirana je subdivizija i ispod grafa krivulje imam pravokutnike koji aproksimiraju(njihova površina) površinu odozdo,površina jednog pravokutnika glasi:

( f(x_i-1)+f(x_i) )/2 * (x_i – x_i-1)[/quote]

Sumnjam. Ovo što si ti napisao je površina trapeza.

[quote]dakle,imamo srednju vrijednost rubnih funkcijskih vrijednosti u produktu sa duljinom dužine intervala.

Sada Šikić piše formulu:
f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )

i Šikić sada kaže:[color=green]ovaj oblik formule znamo,radi se o vrijednosti između točaka funkcije 'puta' dužina intervala->Lagrangeov teorem srednje vrijednosti,upravo Lagrangeov teorem ima ovakav izraz=>to bi trebala biti derivacija funkcije.[/color](o tome vas ja pitam)

Dakle zanima nas funkcija F takva da vrijedi F'(x)=f(x)
Suma od 1 do n pribrojnika oblika f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )
Jednaka je F(b)-F(a).
Dakle,od pokušaja opisivanja površine došli smo do nekakve funkcije čija je derivacija jednaka polaznoj funkciji.[/quote]

A, to. Ok, dakle ovako. Imamo izraz
(f(s)+f(t))/2*(t-s) . Aritmetička sredina od f(s) i f(t) je naravno neki broj između f(s) i f(t) , koje f očito poprima na [s,t] . Dakle, po B-W teoremu ( f je neprekidna, ako je ono što ti zoveš krivuljom zaista neka dovoljno lijepa krivulja: ), ta aritmetička sredina jednaka je nekom f(r) , gdje je r između s i t . Ako je f=F' , to je F'(r) . Dakle izraz od kojeg smo krenuli je F'(r)*(t-s) . No po Lagrangeovom teoremu, (F(t)-F(s))/(t-s) iznosi F'(r')=f(r') , dakle vrijednost derivacije u nekom drugom r' , koji je također između s i t . Razlika F(t)-F(s) koja je dakle jednaka (t-s)*f(r') , i naš originalni izraz (t-s)*f(r) se dakle razlikuju za (t-s)(f(r')-f(r)) . Sad je poanta u tome da (uniformna neprekidnost i tako to...) iskoristimo činjenicu da su r' i r ukliješteni između s i t , koji su blizu, pa ni njihove funkcijske vrijednosti ne mogu biti daleko. Recimo da se razlikuju (na _svakom_ intervalu - ovo je ono zbog čega uniformna neprekidnost gore) za manje od eps/(b-a) .
Dakle, na svakom intervalčiću [s,t]=[x_{i-1},x_i] imamo
(F(t)-F(s))-("površina ispod trapeščića")<eps/(b-a)*(t-s) .
To zbrojimo po svim intrevalima. Dobijemo
(F(b)-F(a))-"približna površina ispod grafa"<eps/(b-a)*(b-a)=eps .

A to se valjda trebalo dobiti. Napominjem da je ovo, ovako kako je pisano, debela heuristika. Za egzaktni rezultat treba se malo više potruditi...
Anonymous (napisa):
Evo,izvadak iz predavanja:
Da vam malo predočim Wink :

Imam nacrtan kartezijev koordinatni sustav i nekakvu proizvoljnu krivulju,definirana je subdivizija i ispod grafa krivulje imam pravokutnike koji aproksimiraju(njihova površina) površinu odozdo,površina jednog pravokutnika glasi:

( f(x_i-1)+f(x_i) )/2 * (x_i – x_i-1)


Sumnjam. Ovo što si ti napisao je površina trapeza.

Citat:
dakle,imamo srednju vrijednost rubnih funkcijskih vrijednosti u produktu sa duljinom dužine intervala.

Sada Šikić piše formulu:
f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )

i Šikić sada kaže:ovaj oblik formule znamo,radi se o vrijednosti između točaka funkcije 'puta' dužina intervala→Lagrangeov teorem srednje vrijednosti,upravo Lagrangeov teorem ima ovakav izraz⇒to bi trebala biti derivacija funkcije.(o tome vas ja pitam)

Dakle zanima nas funkcija F takva da vrijedi F'(x)=f(x)
Suma od 1 do n pribrojnika oblika f( (x_i-1 + x_i) / 2 ) * (x_i – x_i-1 )
Jednaka je F(b)-F(a).
Dakle,od pokušaja opisivanja površine došli smo do nekakve funkcije čija je derivacija jednaka polaznoj funkciji.


A, to. Ok, dakle ovako. Imamo izraz
(f(s)+f(t))/2*(t-s) . Aritmetička sredina od f(s) i f(t) je naravno neki broj između f(s) i f(t) , koje f očito poprima na [s,t] . Dakle, po B-W teoremu ( f je neprekidna, ako je ono što ti zoveš krivuljom zaista neka dovoljno lijepa krivulja: ), ta aritmetička sredina jednaka je nekom f(r) , gdje je r između s i t . Ako je f=F' , to je F'(r) . Dakle izraz od kojeg smo krenuli je F'(r)*(t-s) . No po Lagrangeovom teoremu, (F(t)-F(s))/(t-s) iznosi F'(r')=f(r') , dakle vrijednost derivacije u nekom drugom r' , koji je također između s i t . Razlika F(t)-F(s) koja je dakle jednaka (t-s)*f(r') , i naš originalni izraz (t-s)*f(r) se dakle razlikuju za (t-s)(f(r')-f(r)) . Sad je poanta u tome da (uniformna neprekidnost i tako to...) iskoristimo činjenicu da su r' i r ukliješteni između s i t , koji su blizu, pa ni njihove funkcijske vrijednosti ne mogu biti daleko. Recimo da se razlikuju (na _svakom_ intervalu - ovo je ono zbog čega uniformna neprekidnost gore) za manje od eps/(b-a) .
Dakle, na svakom intervalčiću [s,t]=[x_{i-1},x_i] imamo
(F(t)-F(s))-("površina ispod trapeščića")<eps/(b-a)*(t-s) .
To zbrojimo po svim intrevalima. Dobijemo
(F(b)-F(a))-"približna površina ispod grafa"<eps/(b-a)*(b-a)=eps .

A to se valjda trebalo dobiti. Napominjem da je ovo, ovako kako je pisano, debela heuristika. Za egzaktni rezultat treba se malo više potruditi...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail Posjetite Web stranice
ZELENIZUBNAPLANETIDO
SADE

Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 04. 03. 2004. (19:56:15)
Postovi: (54F)16
Sarma = la pohva - posuda
= 12 - 5
Lokacija: hm?

PostPostano: 13:11 pet, 9. 4. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ahaaaa :)

Ukoliko imamo f-ju t.d. je F'(x)=f(x) tada je za interval I:=<x_i-1, x_i> moguce traziti srednju vrijednost prim f-je od f. Tj. po Lagrangeovom tm. srednje vrijednosti => postoji c e I t.d. F'(c)*(x_i-1-x_i)=F(x_i)-F(x_i-1)

No, buduci da su i c i x_i-1 + (x_i - x_i-1)/2 izmedju x_i-1 i x_i, mozemo npr. svaki od nasih intervala 1,...,n npr. prepoloviti. Time cemo dobivati sve finije i finije subdivizije gdje ce x_i i x_i-1 biti sve blize i blize, tako da ce u biti c i x_i-1 + (x_i - x_i-1)/2 konvergirati jedan drugom, tako da se problem moze svesti na L.tm.

Ovo nije bas do kraja korektno i nije bas dokaz, al nadam se da bar malo pojasnjava ono sto je sikic (nadam se) htio reci... :? (stvar bi se trebala tehnicki preciznije postaviti, al... :))
Ahaaaa Smile

Ukoliko imamo f-ju t.d. je F'(x)=f(x) tada je za interval I:=<x_i-1, x_i> moguce traziti srednju vrijednost prim f-je od f. Tj. po Lagrangeovom tm. srednje vrijednosti => postoji c e I t.d. F'(c)*(x_i-1-x_i)=F(x_i)-F(x_i-1)

No, buduci da su i c i x_i-1 + (x_i - x_i-1)/2 izmedju x_i-1 i x_i, mozemo npr. svaki od nasih intervala 1,...,n npr. prepoloviti. Time cemo dobivati sve finije i finije subdivizije gdje ce x_i i x_i-1 biti sve blize i blize, tako da ce u biti c i x_i-1 + (x_i - x_i-1)/2 konvergirati jedan drugom, tako da se problem moze svesti na L.tm.

Ovo nije bas do kraja korektno i nije bas dokaz, al nadam se da bar malo pojasnjava ono sto je sikic (nadam se) htio reci... Confused (stvar bi se trebala tehnicki preciznije postaviti, al... Smile)



_________________

Pupoljak nije negiran. Rekao sam to i ponovit cu to jos jedanput. Pupoljak NIJE negirAn.
MADD
(Mothers Against Dirty Dialectics)
Based on a true story. NOT.
Ko ih sljivi, mi sviramo punk Wink
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Gost






PostPostano: 15:06 sub, 10. 4. 2004    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala Vam na unkarsnom( :wink: ) pojašnjenju!
Hvala Vam na unkarsnom( Wink ) pojašnjenju!


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan