|
[quote="Anonymous"]Definicija uniformne(jednolike) neprekidnosti:
Funkcija f:IR->IR je uniformno neprekidna ako vrijedi:
(Aepsilon>0)(postoji delta=delta(epsilon)>0)takav da(x_1,x_2@D_f[color=blue],[/color]|x_1-x_2|<delta => |f(x_1)-f(x_2)|<epsilon)[/quote]
Right. Samo bi onaj plavi zarez zaista trebao biti "&", ali dobro.
[quote]Razmak između funkcijskih vrijednosti je u nekakvom skladu sa razmakom argumenata,[/quote]
U upravo takvom "skladu" kako piše gore: za svaki pozitivni epsilon postoji pozitivni delta takav da, kad kod je razmak dva xa u domeni ispod delta, razmak funkcijskih vrijednosti je ispod epsilon.
To je kao definicija neprekidnosti u točki, samo bez "u točki":-).
(Da ponovimo... funkcija je neprekidna u točki c :akko za svaki pozitivan epsilon postoji pozitivan delta takav da, kad god je odmak xa u domeni od c ispod delta, razmak funkcijskih vrijednosti je ispod epsilon. Kao što vidimo, jedina razlika u odnosu na gornju definiciju je što je jedan od dva xa , c , već a priori zadan, i delta smije ovisiti i o njemu a ne samo o epsilon. Kod uniformne neprekidnosti moramo delta birati _uniformno_, tako da bude dobar za svaki "c" (koji se zbog simetrije ovdje zove x_1 ) iz domene.)
[quote]hm,može konkretno pojašnjenje na primjeru funkcije f(x)=1/x.[/quote]
Na kojoj domeni? Na prirodnoj ( |R\{0} ) , f _nije_ uniformno neprekidna (iako jest neprekidna). Heuristički argument za to: prelistaj bilježnicu (ili http://web.math.hr/~veky/T/T5/naof.html ... odlomak počinje s inv(x):=1/x ) unatrag do dokazivanja neprekidnosti funkcije f , i vidjet ćeš nešto poput delta:=min{c^2*eps/2,c/2}>0 , a to znači da delta ne ovisi samo o eps , već i o c .
Naravno, to nije dokaz - nitko ne kaže da se delte ne mogu možda i drugačije birati tako da zadovoljavaju što trebaju, a da ne ovise o c . Dokaz je ovo: prvo precizno napišimo negaciju uniformne neprekidnosti. To je da postoji pozitivni eps takav da za svaki pozitivni delta postoje x_{1,2} iz |R\{0} takvi da se razlikuju za manje od delta, ali se njihove funkcijske (ovdje recipročne) vrijednosti razlikuju za više od eps .
Za eps stavim eps:=1 . Neka je dan proizvoljan delta>0 . Za x_{1,2} ću staviti bliske brojeve oko 0 , tako da njihove recipročne vrijednosti budu velika negativna i velika pozitivna, dakle daleko jedna od druge. Konkretno, x2:=min{1,delta/3} & x1:=-x2 . Razmak je očito 2delta/3 ili manji, dakle manji od delta, a funkcijske vrijednosti... 1/x_1 je manje od -1 , a 1/x_2 je veće od 1 , pa im je razmak veći od 2 , dakle veći od eps.
Jasno?
| Anonymous (napisa): | Definicija uniformne(jednolike) neprekidnosti:
Funkcija f:IR→IR je uniformno neprekidna ako vrijedi:
(Aepsilon>0)(postoji delta=delta(epsilon)>0)takav da(x_1,x_2@D_f,|x_1-x_2|<delta ⇒ |f(x_1)-f(x_2)|<epsilon) |
Right. Samo bi onaj plavi zarez zaista trebao biti "&", ali dobro.
| Citat: | | Razmak između funkcijskih vrijednosti je u nekakvom skladu sa razmakom argumenata, |
U upravo takvom "skladu" kako piše gore: za svaki pozitivni epsilon postoji pozitivni delta takav da, kad kod je razmak dva xa u domeni ispod delta, razmak funkcijskih vrijednosti je ispod epsilon.
To je kao definicija neprekidnosti u točki, samo bez "u točki" .
(Da ponovimo... funkcija je neprekidna u točki c :akko za svaki pozitivan epsilon postoji pozitivan delta takav da, kad god je odmak xa u domeni od c ispod delta, razmak funkcijskih vrijednosti je ispod epsilon. Kao što vidimo, jedina razlika u odnosu na gornju definiciju je što je jedan od dva xa , c , već a priori zadan, i delta smije ovisiti i o njemu a ne samo o epsilon. Kod uniformne neprekidnosti moramo delta birati _uniformno_, tako da bude dobar za svaki "c" (koji se zbog simetrije ovdje zove x_1 ) iz domene.)
| Citat: | | hm,može konkretno pojašnjenje na primjeru funkcije f(x)=1/x. |
Na kojoj domeni? Na prirodnoj ( |R\{0} ) , f _nije_ uniformno neprekidna (iako jest neprekidna). Heuristički argument za to: prelistaj bilježnicu (ili http://web.math.hr/~veky/T/T5/naof.html ... odlomak počinje s inv(x):=1/x ) unatrag do dokazivanja neprekidnosti funkcije f , i vidjet ćeš nešto poput delta:=min{c^2*eps/2,c/2}>0 , a to znači da delta ne ovisi samo o eps , već i o c .
Naravno, to nije dokaz - nitko ne kaže da se delte ne mogu možda i drugačije birati tako da zadovoljavaju što trebaju, a da ne ovise o c . Dokaz je ovo: prvo precizno napišimo negaciju uniformne neprekidnosti. To je da postoji pozitivni eps takav da za svaki pozitivni delta postoje x_{1,2} iz |R\{0} takvi da se razlikuju za manje od delta, ali se njihove funkcijske (ovdje recipročne) vrijednosti razlikuju za više od eps .
Za eps stavim eps:=1 . Neka je dan proizvoljan delta>0 . Za x_{1,2} ću staviti bliske brojeve oko 0 , tako da njihove recipročne vrijednosti budu velika negativna i velika pozitivna, dakle daleko jedna od druge. Konkretno, x2:=min{1,delta/3} & x1:=-x2 . Razmak je očito 2delta/3 ili manji, dakle manji od delta, a funkcijske vrijednosti... 1/x_1 je manje od -1 , a 1/x_2 je veće od 1 , pa im je razmak veći od 2 , dakle veći od eps.
Jasno?
|
meni nije 
