|
Sve parcijalne derivacije postoje i neprekidne su u svim točkma iz [latex]\mathbb{R}^3[/latex], stoga je funkcija [latex]\Phi[/latex] diferencijabila na čitavom [latex]\mathbb{R}^3[/latex], te je matrica diferencijala u kanonskoj baz u točki [latex]\left(r,\, \theta,\, z\right)[/latex] dana s
[latex]\nabla{f}\left(r,\, \theta,\, z\right) = \left(\begin{array}{ccc}
\cos{\theta} & -r\sin{\theta} & 0 \\
\sin{\theta} & r\cos{\theta} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)[/latex],
iz ovoga odmah zaključujemo da je funkcija klase [latex]C^1[/latex], također vidimo da je [latex]J_f\left(r,\, \theta,\, z\right) = r[/latex].
Dakle, funkcija je invertibilna u svakoj točki [latex]\left(r \neq 0,\, \theta,\, z\right)[/latex], za točke [latex]\left(0,\, \theta,\, z\right)[/latex]
odmah vidimo da funkcija nije invertibilna.
Sve parcijalne derivacije postoje i neprekidne su u svim točkma iz  , stoga je funkcija  diferencijabila na čitavom , te je matrica diferencijala u kanonskoj baz u točki  dana s
 ,
iz ovoga odmah zaključujemo da je funkcija klase  , također vidimo da je  .
Dakle, funkcija je invertibilna u svakoj točki  , za točke 
odmah vidimo da funkcija nije invertibilna.
|
