| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
c4rimson
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 01. 2010. (18:57:26)
Postovi: (3B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
Boužoo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2009. (18:39:15)
Postovi: (6)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
 Postano: 13:34 ned, 24. 1. 2010 Naslov: |
    |
|
|
U 1. a), pogledaj koja imaš sve ograničenja: moraš imati [latex]x>0[/latex] (zbog [latex]\ln[/latex]) i moraš imati [latex]4\sinh(\ln x)-x\geq 0[/latex] (zbog korijena). Sad primijeti da je [latex]\displaystyle \sinh(\ln x)=\frac{e^{\ln x}-e^{-\ln x}}{2}=\frac{x-\frac{1}{x}}{2}[/latex] (kad je [latex]\ln x[/latex] definiran, a to nam je ionako uvjet). Stoga, [latex]4\sinh(\ln x)-x\geq 0[/latex] je ekvivalentno s [latex]\displaystyle x-\frac{2}{x}\geq 0[/latex], a to nije problem riješiti, uzevši u obzir [latex]x>0[/latex]. Prirodna je domena [latex]\[\sqrt{2},+\infty\rangle[/latex].
U 1. c), primijeti da vrijedi [latex]\cos 3t=\cos 2t\cos t-\sin 2t\sin t=(2\cos^2t-1)\cos t-2\sin^2 t\cos t[/latex]. Daljnjim pojednostavljivanjem, dobivamo da je to jednako [latex](2\cos^2t-1)\cos t-2(1-\cos^2 t)\cos t=2\cos^3t-\cos t-2\cos t+2\cos^3 t[/latex]. Sad uzmi [latex]t=\arccos x[/latex] i iskoristi da je onda [latex]\cos t=x[/latex]. Dobivaš jednadžbu [latex]4x^3-3x=2x^3-2x[/latex] koju, dakako, znaš riješiti. Rješenja su [latex]0[/latex], [latex]\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex] i [latex]-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex].
Naposlijetku, u 3. zadatku nas zanimaju rješenja od [latex]0\leq |2x^2+2x-|x^2-1||\leq 1[/latex]. Kako lijeva nejednakost zbog apsolutne vrijednosti uvijek vrijedi, zanima nas [latex]|2x^2+2x-|x^2-1||\leq 1[/latex]. Sad idemo po slučajevima: prvo, ako je [latex]x^2-1\geq 0[/latex], zanimaju nas rješenja od [latex]|x^2+2x+1|\leq 1[/latex], tj. od [latex]|(x+1)^2|\leq 1[/latex], što je očito ekvivalentno s [latex](x+1)^2\leq 1[/latex]. Tu bi, stoga, rješenja bila u skupu [latex]\[-2,0\][/latex], ali kako je [latex]x^2-1\geq 0[/latex], rješenja čini skup [latex]\[-2,-1\][/latex].
Preostaje drugi slučaj: [latex]x^2-1<0[/latex]. Tada nas zanima [latex]|3x^2+2x-1|\leq 1[/latex]. Ovo opet možemo rastavljati na slučajeve ili kako već - poanta je da nas zanima kada na intervalu [latex]\langle -1,1\rangle[/latex] vrijedi [latex]-1\leq 3x^2+2x-1\leq 1[/latex]. Obzirom na to da se samo radi o rješavanju kvadratnih jednadžbi, ostavit ću to tebi :P. Tu bi rješenja trebao činiti skup [latex]\displaystyle\langle -1,-\frac{2}{3}\]\cup\[0,\frac{-1+\sqrt{7}}{3}\][/latex].
Stoga je finalno rješenje unija svih ovih rješenja: [latex]\displaystyle \[-2,-\frac{2}{3}]\cup\[0,\frac{-1+\sqrt{7}}{3}\][/latex].
Evo, pisah ovo malo napamet, nadam se da nije ništa krivo :).
EDIT: Tipfeler :oops:. Hvala na ispravku, Boužoo.
U 1. a), pogledaj koja imaš sve ograničenja: moraš imati  (zbog  ) i moraš imati  (zbog korijena). Sad primijeti da je  (kad je  definiran, a to nam je ionako uvjet). Stoga, je ekvivalentno s  , a to nije problem riješiti, uzevši u obzir . Prirodna je domena  .
U 1. c), primijeti da vrijedi  . Daljnjim pojednostavljivanjem, dobivamo da je to jednako  . Sad uzmi  i iskoristi da je onda  . Dobivaš jednadžbu  koju, dakako, znaš riješiti. Rješenja su  ,  i  .
Naposlijetku, u 3. zadatku nas zanimaju rješenja od  . Kako lijeva nejednakost zbog apsolutne vrijednosti uvijek vrijedi, zanima nas  . Sad idemo po slučajevima: prvo, ako je  , zanimaju nas rješenja od  , tj. od  , što je očito ekvivalentno s  . Tu bi, stoga, rješenja bila u skupu  , ali kako je , rješenja čini skup  .
Preostaje drugi slučaj:  . Tada nas zanima  . Ovo opet možemo rastavljati na slučajeve ili kako već - poanta je da nas zanima kada na intervalu  vrijedi  . Obzirom na to da se samo radi o rješavanju kvadratnih jednadžbi, ostavit ću to tebi  . Tu bi rješenja trebao činiti skup  .
Stoga je finalno rješenje unija svih ovih rješenja:  .
Evo, pisah ovo malo napamet, nadam se da nije ništa krivo  .
EDIT: Tipfeler  . Hvala na ispravku, Boužoo.
Zadnja promjena: mornik; 15:17 ned, 24. 1. 2010; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
Boužoo
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2009. (18:39:15)
Postovi: (6)16
|
| Postano: 15:10 ned, 24. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
Hvala hvala :D
[size=9][color=#999999]Added after 52 minutes:[/color][/size]
[quote="mornik"]
U 1. c), primijeti da vrijedi [latex]\cos 3t=\cos 2t\cos t-\sin 2t\sin t=(2\cos^2t-1)\cos t-2\sin^2 t\cos t[/latex]. Daljnjim pojednostavljivanjem, dobivamo da je to jednako [latex](2\cos^2t-1)\cos t-2(1-\cos^2 t)\cos t=2\cos^3t-\cos t-2\cos t+2\cos^3 t[/latex]. Sad uzmi [latex]t=\arccos x[/latex] i iskoristi da je onda [latex]\cos t=x[/latex]. Dobivaš jednadžbu [latex]4x^3-3x=2x^2-2x[/latex] koju, dakako, znaš riješiti. Rješenja su [latex]0[/latex], [latex]\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex] i [latex]-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}[/latex].
[/quote]
Jedno pitanje, zar ne bi umjesto [latex]4x^3-3x=2x^2-2x[/latex] na kraju trebalo ići [latex]4x^3-3x=2x^3-2x[/latex]
Hvala hvala 
Added after 52 minutes:
| mornik (napisa): |
U 1. c), primijeti da vrijedi . Daljnjim pojednostavljivanjem, dobivamo da je to jednako . Sad uzmi i iskoristi da je onda . Dobivaš jednadžbu  koju, dakako, znaš riješiti. Rješenja su , i .
|
Jedno pitanje, zar ne bi umjesto na kraju trebalo ići
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
|
| [Vrh] |
|
medonja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 10. 2009. (17:01:04)
Postovi: (45)16
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
|
| [Vrh] |
|
medonja
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 10. 2009. (17:01:04)
Postovi: (45)16
|
|
| [Vrh] |
|
surosev
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 01. 2010. (20:08:09)
Postovi: (9)16
|
|
| [Vrh] |
|
Altair
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 12. 2009. (14:26:52)
Postovi: (16)16
|
|
| [Vrh] |
|
Swerz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2009. (21:30:28)
Postovi: (182)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Sari
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 12. 2009. (19:58:14)
Postovi: (11)16
|
|
| [Vrh] |
|
Swerz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 02. 2009. (21:30:28)
Postovi: (182)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
|
